Twierdzenie Myhilla-Nerode’a

Twierdzenie Myhilla-Nerode’a – twierdzenie w teorii języków formalnych podające konieczne i dostateczne warunki na to, by dany język był regularny. Zostało udowodnione w 1958 roku przez Johna Myhilla i Anila Nerode’a.

Twierdzenie

Niech $L$ będzie językiem nad alfabetem $\Sigma .$ Zdefiniujmy relację sufiksowej nieodróżnialności $R_{L}\subseteq \Sigma ^{*}\times \Sigma ^{*}$ następująco: $(w,v)\in R_{L}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego słowa $u\in \Sigma ^{*},$ $wu\in L$ wtedy i tylko wtedy, gdy $vu\in L.$

Twierdzenie Myhilla-Nerode’a orzeka, że język L jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy relacja $R_{L}$ dzieli $\Sigma ^{*}$ na skończenie wiele klas abstrakcji. Dodatkowo, jeśli L jest regularny, to liczba stanów minimalnego deterministycznego automatu skończonego rozpoznającego L jest równa liczbie klas abstrakcji relacji $R_{L}.$

Nieformalnie, jeśli język L jest regularny, to klasy abstrakcji relacji $R_{L}$ odpowiadają stanom automatu skończonego rozpoznającego L. Innymi słowy $R_{L}$ „skleja” ze sobą słowa, których „przyszłości” z punktu widzenia zachowania automatu są identyczne. Intuicyjnie, jeśli klas abstrakcji jest nieskończenie wiele, to automat rozpoznający L musiałby mieć nieskończenie wiele stanów, co jest niemożliwe.

Przykłady

• język $L={a^{n}b^{n}}$ nie jest regularny – rozpatrzmy bowiem dwa słowa: $a^{k}b^{k}$ oraz $a^{k+c}b^{k+c}$ dla $c\geqslant 1.$ Jeśli teraz podstawimy $w=a^{k}b^{k}$ oraz $v=a^{k+c}b^{k}$ to sufiks (postfiks) $u=b^{c}$ rozróżnia te dwa słowa, gdyż $wu\notin L$ oraz $vu\in L.$ Zatem relacja $R_{L}$ ma zatem nieskończenie wiele klas abstrakcji, czyli L nie jest regularny.