Wolno zmieniająca się funkcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wolno zmieniająca się funkcja – funkcja przypominająca funkcję zbieżną w nieskończoności. Wolno zmieniające się funkcje są ważne w teorii prawdopodobieństwa

Definicja formalna[edytuj]

Funkcja jest wolno zmieniająca się (w nieskończoności) jeśli dla dowolnego a > 0,

Jeżeli ta granica jest skończona ale niezerowa dla wszystkich a > 0, wówczas L jest nazywana regularnie zmieniająca się funkcją. Definicja pochodzi od Jovana Karamaty.[1]

Przykłady[edytuj]

  • Jeśli wtedy jest wolno zmieniającą się funkcją.
  • Dla dowolnego , jest wolno zmieniającą się funkcją.
  • Funkcja nie jest wolno zmieniająca się; nie jest taką też dla dowolnego rzeczywistego

Własności[edytuj]

Najważniejsze własności[1]

  • Granica w definicji jest jednostajna jeśli a jest ograniczone do odcinka skończonego.
  • Każda regularnie zmieniająca się funkcja ma formę x βL(x) gdzie β ≥ 0 i L i jest wolno zmieniającą się funkcją.
  • Dla każdej wolno zmieniającej się funkcji L, istnieje B > 0 takie, że dla wszystkich xB funkcja może być zapisana jako
gdzie η(x) zbiega do skończonej liczby, a ε(x) zbiega do zera gdy x zmierza do nieskończoności.

Przypisy

  1. a b J. Galambos, E. Seneta, "Regularly Varying Sequences", Proceedings of the American Mathematical Society, 41 (1)1973, 110-116; ISSN 0002-9939