Funkcja wolno zmieniająca się

Funkcja wolno zmieniająca się – funkcja będąca pewnym uogólnieniem funkcji zbieżnych w nieskończoności. Funkcje wolno zmieniające się są szczególnie ważne w rachunku prawdopodobieństwa.

Definicja formalna

Funkcja $L\colon (0,\infty )\to (0,\infty )$ jest wolno zmieniająca się (w nieskończoności), jeżeli dla dowolnego $a>0,$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.$

Jeżeli ta granica jest skończona, ale niezerowa dla wszystkich $a>0,$ wówczas $L$ jest nazywana regularnie zmieniająca się funkcją. Definicja pochodzi od Jovana Karamaty.

Przykłady

• Jeśli funkcja $L$ jest zbieżna do dodatniej, skończonej granicy, $\lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),$ to jest ona funkcją wolno zmieniającą się.
• Dla dowolnego $\beta \in \mathbb {R} ,$ $L(x)=(\log x)^{\beta }$ jest funkcją wolno zmieniającą się.
• Funkcja $L(x)=x$ nie jest wolno zmieniająca się; nie jest taką też $L(x)=x^{\beta }$ dla dowolnego rzeczywistego $\beta \neq 0.$

Własności

Najważniejsze własności.

• Granica w definicji jest jednostajna, jeśli $a$ jest ograniczone do odcinka skończonego.
• Każda regularnie zmieniająca się funkcja ma formę $x^{\beta }L(x)$ gdzie $\beta \geqslant 0$ i $L$ i jest wolno zmieniającą się funkcją.
• Dla każdej wolno zmieniającej się funkcji $L,$ istnieje $B>0$ takie, że dla wszystkich $x\geqslant B$ funkcja może być zapisana jako

$L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right),$

gdzie:

$\eta (x)$ zbiega do skończonej liczby,

$\epsilon (x)$ zbiega do zera, gdy $x$ zmierza do nieskończoności.