Zbieżność jednostajna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej.

Definicja[edytuj]

Niech będzie niepustym zbiorem, a oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg funkcji jest jednostajnie zbieżny do funkcji jeżeli

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:

Jeśli ciąg funkcji zbiega jednostajnie do funkcji to o mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu i pisze

Jeżeli jest przestrzenią topologiczną, to ciąg funkcji jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji jeżeli dla każdego zbioru zwartego ciąg jest jednostajnie zbieżny.

Rys historyczny[edytuj]

Przykłady[edytuj]

  • Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
  • Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta i połóżmy dla Wówczas
  • Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
  • Rozważmy funkcje zadane w dziedzinie wzorem dla Niech będzie dana wzorem
Wówczas , lecz

Własności[edytuj]

  • Zbieżność jednostajna pociąga zbieżność punktową.
  • Jeśli oraz i a to
    jeśli dodatkowo funkcje i ograniczone, to
    jeśli ponadto dla pewnego dla każdego zachodzi to
  • Jeśli są ciągłe i oraz to (twierdzenie Diniego)
  • Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, a są funkcjami ciągłymi, przy czym to również jest funkcją ciągłą.
  • Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, jest przestrzenią zupełną, a to:

do pewnej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, tzn.

.
  • Jeśli są takimi funkcjami różniczkowalnymi, że oraz ciąg funkcji pochodnych to funkcja jest różniczkowalna i

Pojęcia pokrewne[edytuj]

Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.

Niech będą przestrzeniami metrycznymi, a będą dla dowolnymi funkcjami.

Ciąg zbiega ciągle do funkcji jeśli
dla każdego ciągu elementów przestrzeni jeśli to
Ciąg zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji jeśli
dla każdego ciągu elementów przestrzeni , jeśli ciąg jest zbieżny w to także ciąg jest zbieżny oraz

Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa się z pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.

Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego

Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych[edytuj]

 Zobacz też: przestrzeń funkcyjna.

Niech będą przestrzeniami metrycznymi, a oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni w przestrzeń Dla określamy

Wówczas jest metryką na zbiorze nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

  • Jeśli jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci
    gdzie jest zbiorem zwartym, a jest zbiorem otwartym.
  • Jeśli jest przestrzenią zwartą, a jest przestrzenią zupełną, to również jest przestrzenią zupełną.
  • jest przestrzenią polską.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74.
  • Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
  • Kuratowski, Kazimierz: Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966.