Zagadnienie Hiemenza

Zagadnienie Hiemenza – zagadnienie z zakresu teorii warstwy granicznej dotyczące napływu jednorodnej, potencjalnej strugi na ustawioną prostopadle do niej płaską płytę.

Problem fizykalny

Zagadnienie Hiemenza dotyczy samo-podobnego rozwiązania równań warstwy granicznej dla zagadnienia napływu jednorodnej strugi potencjalnej na ustawioną prostopadle do niej sztywną płytę. Analogiczne zagadnienie dotyczy przepływu w warstwie granicznej w otoczeniu punktu stagnacji.

Zagadnienie zostało przeanalizowane po raz pierwszy przez Hiemenza (1911), który, wychodząc z klasycznych równań warstwy granicznej (równań Prandtla) otrzymał różniczkowe równanie samo-podobne, noszące obecnie nazwę równania Hiemenza.

Opis matematyczny

Przyjmując oś $y$ prostopadłą do płyty, a oś $x$ leżącą na płycie, napływający potencjalny strumień płynu może być opisany następującą funkcją zespoloną:

$F(z)=F(x+iy)=z^{2}=(x+iy)^{2}=\phi (x,y)+i\psi (x,y),$

gdzie:

$\phi (x,y)$ – potencjał prędkości,

$\psi (x,y)$ – funkcja prądu dla napływającej strugi potencjalnej.

Rozwiązania równań warstwy granicznej w otoczeniu płyty reprezentowane są przez funkcję prądu $\Psi (x,y),$ której pochodnymi cząstkowymi są składowa prędkości w warstwie granicznej styczna do płyty $u(x,y)$ oraz składowa prędkości w warstwie granicznej normalna do płyty $v(x,y),$ przy czym:

$u(x,y)={\frac {\partial \Psi (x,y)}{\partial y}},$

$v(x,y)=-\,{\frac {\partial \Psi (x,y)}{\partial x}}.$

Rozwiązania równań warstwy granicznej poszukiwać można wówczas w postaci następującej reprezentacji funkcji prądu $\Psi (x,y){:}$

$\Psi (x,y)={\sqrt {\frac {a\mu }{\varrho }}}\,xf(\xi ),$

gdzie:

$a$ – wielkość stała,

$\varrho$ – gęstość płynu,

$\mu$ – lepkość płynu,

$\xi$ – parametr samo-podobieństwa, który jest zdefiniowany w sposób: $\xi \;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\;{\sqrt {\frac {a\varrho }{\mu }}}\,y.$

Problem redukuje się wówczas do rozwiązania równania samo-podobnego:

${\frac {d^{3}f(\xi )}{d\xi ^{3}}}+f(\xi ){\frac {d^{2}f(\xi )}{d\xi ^{2}}}-\left\{{\frac {df(\xi )}{d\xi }}\right\}^{2}+1=0$

zwanego obecnie równaniem Hiemenza. Jest to nieliniowe równanie różniczkowe rzędu trzeciego.

Zagadnienie brzegowe

Warunki brzegowe dla powyższego równania różniczkowego wynikające z fizykalnych postulatów teorii warstwy granicznej są jak następuje:

$\left.f(\xi )\right|_{\xi =0}=0,$

$\left.{\frac {df(\xi )}{d\xi }}\right|_{\xi =0}=0,$

$\left.{\frac {df(\xi )}{d\xi }}\right|_{\xi \to \infty }=1.$

Pierwszy z powyższych warunków brzegowych wyraża nieprzepuszczalność płyty, na którą następuje napływ płynu. Inaczej mówiąc, składowa normalna wektora prędkości na płycie jest równa zeru.

Drugi z powyższych warunków brzegowych wyraża postulat niewystępowania poślizgu na płycie: Płyn na sztywnej ściance „przykleja się” do niej, tj. składowe zarówno normalna, jak i styczna wektora prędkości na płycie są równe zeru.

Trzeci z powyższych warunków brzegowych wyraża postulat zgodnie z którym styczna składowa $u$ wektora prędkości w warstwie granicznej zdążać będzie do wartości prędkości stycznej w napływającym strumieniu w miarę oddalania się od sztywnej płyty.

Równanie Hiemenza z trzema podanymi tutaj warunkami brzegowymi tworzy zagadnienie brzegowe.

Dla dodatnich wartości parametru $\xi$ rozwiązania zagadnienia brzegowego Hiemenza są regularne. Potwierdzają to badania doświadczalne, które wykazały regularny charakter ruchu płynu przy napływie jednorodnej strugi na prostopadle ustawiona do niej płaską płytę.

Literatura

• Hiemenz K., (1911): Die Grenzschicht an einen im den gleichförmigen Flüssigkeitström eigeyauchen geraden Kreiszylinder, Dissertationen, Göttingen, reprinted in Dingl. Polytech. Jahrbuch, 326, (1911), s. 321–410.
• Howarth L., (1959): Laminar Boundary Layers, in Handbuch der Physik, herausgegeben von S. Flügge und C. Truesdel, Bd. VIII/1 Strömungsmechanik I, Springer, Berlin – Göttingen – Heidelberg.
• Schlichting H., (1965): Grenzschicht-Theorie, Braun, Karlsruhe.