Belka na podłożu sprężystym może stanowić model obliczeniowy dla takich elementów konstrukcyjnych jak szyny kolejowe i tramwajowe oraz ławy fundamentowe.
Belki takie o stałej sztywności giętnej mogą być obliczane na podstawie równania różniczkowego ich linii ugięcia o postaci[1][2]
- (a)
gdzie przez oznaczono stałą charakteryzującą sprężystość podłoża. Taki model podłoża nazywany jest podłożem winklerowskim od nazwiska Winklera, który taki model zaproponował[3].
Można wykazać, że rozwiązaniem ogólnym równania (a) jest funkcja
- (b)
gdzie przy czym stałe zostają określone przez warunki brzegowe zagadnienia.
Rozważmy belkę nieskończenie długą, którą może być np. szyna tramwajowa. Obciążeniem belki jest pionowa siła skupiona Przyjmiemy układ współrzędnych w punkcie przyłożenia siły. W odległości nieskończonej możemy przyjąć, że
- (c)
Stąd na podstawie (c) otrzymujemy:
Biorąc pod uwagę symetryczne działanie obciążenia, możemy przyjąć, że
- (d)
Z symetrii wynika również, że odpór gruntu z prawej połowy belki musi być równy skąd
- (e)
Na podstawie (d) i (e) otrzymujemy
Mamy więc dla
Tę samą belkę co w przykładzie 1 obciążymy prawoskrętnym momentem skupionym przyłożonym w punkcie Na podstawie (c) otrzymuje się Biorąc pod uwagę symetrię geometrii układu i antysymetrię obciążenia względem osi możemy przyjąć, że
- (f)
skąd wynika, że
Mamy również
- (g)
Na podstawie (f) i (g) otrzymuje się
Mamy więc dla
- ↑ S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa 1980, s. 328.
- ↑ L. Suwalski, Belki na sprężystym podłożu - zasady obliczania i linie wpływowe, Biuro Studiów i Projektów Typowych Budownictwa Przemysłowego, Warszawa 1952.
- ↑ С.Р. Тимошенко, Сопротивление материалов, T. 2, стр. 11, Издательство „НАУҜА”, Мосҝва, 1965.