Zginanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Zginanie belki

Zginanie (gięcie) – deformacja ciała (pręta, płyty, powłoki), która polega na zmianie krzywizny jego osi lub powierzchni środkowej[1]. W przekrojach poprzecznych elementów zginanych występuje nierównomierność (liniowa zmienność) rozkładu naprężeń normalnych, spowodowana działaniem momentów zginających te przekroje[2].

W mechanice konstrukcji rzeczywiste ciała zastępuje się ich modelami mechanicznymi takimi jak pręty, płyty, powłoki. Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działy mechaniki ośrodków ciągłych[1].

Układ współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych związanym z przekrojem poprzecznym pręta i utożsamianym z układem jego osi głównych, centralnych. Oś pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.

Rodzaje zginania[edytuj | edytuj kod]

W wytrzymałości materiałów rozróżniane są następujące przypadki zginania:

Czyste, płaskie zginanie pręta pryzmatycznego
Momenty zginające w belce
  • Zginanie czyste (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, siły wewnętrzne redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju pręta[2]. Jeżeli ten wektor ma dwie, różne od zera składowe i (liczone względem głównych centralnych osi bezwładności ), to zginanie takie jest ukośne (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. zginanie jest płaskie (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie Naprężenia normalne w przypadku czystego zginania, określone są przez siły przekrojowe wzorem
w którym przez oznaczono główne centralne momenty bezwładności przekroju pręta.
  • Zginanie poprzeczne charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi pręta[2]. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających i są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór co wyżej.
  • Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe jest superpozycją działania momentów zginających i z działaniem siły podłużnej Naprężenie normalne określone jest wzorem[2]
Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta.
Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla i wynosi:

gdzie:

  • – wskaźnik (współczynnik) wytrzymałości przekroju na zginanie, który zależy od rozmiaru i kształtu przekroju pręta.

Zgodnie z hipotezą wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek:

gdzie:

– dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Teoria Eulera-Bernoulliego[edytuj | edytuj kod]

W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia wzdłuż wysokości przekroju pręta

Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenia normalne wyrażają się wzorem

W rozważanym przypadku otrzymujemy:

gdzie jest momentem bezwładności względem osi pręta.

Z porównania wzorów wynika, że

Dla bardzo małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę osi pręta można przybliżyć drugą pochodną linii ugięcia

otrzymując równanie różniczkowe tej linii:

Na podstawie twierdzenia Schwedlera-Żurawskiego, przy założeniu że otrzymujemy podstawowe równanie Eulera-Bernoulliego dla pręta zginanego

Przykład 1[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie teorii Eulera-Bernoulliego, dla przykładu, rozważymy szczegółowo przypadek płaskiego zginania poprzecznego, gdy

Analizując równowagę elementu o długości wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym (twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego)

skąd po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymuje się podstawowe równanie

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi tzn. w płaszczyźnie ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej o krzywiźnie Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.

Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami element o długości Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje obracają się względem siebie o kąt i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie odległym o od osi Odległość tę nazywamy promieniem krzywizny, przy czym zachodzi związek Wydłużenie „włókna” położonego w odległości od osi obojętnej przekroju wynosi

Po uwzględnieniu podobieństwa trójkątów i wykorzystaniu wzorów

otrzymujemy dla wydłużenia jednostkowego wzór

Uwzględniając fakt, że otrzymujemy przy założeniu, że następujące związki:

W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału osi pręta pryzmatycznego, na długości którego można napisać

gdzie przez oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie na osi pręta.

Przykład 2[edytuj | edytuj kod]

Dana jest pryzmatyczna belka wspornikowa o długości utwierdzona na prawym końcu i zginana w płaszczyźnie obciążeniem o wartości q stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:

gdzie przez oznaczono rzędną linii ugięcia osi.

Otrzymujemy kolejno po uwzględnieniu warunków brzegowych

i dalej

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b S.P. Timoshenko, S. Vojnowskij-Krieger, Teoria płyt i powłok, Arkady, Warszawa 1962.
  2. a b c d S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, s. 167–237, Warszawa-Kraków 1980, Wyd. PWN.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]