Formuła trójczłonowa

Formuła (reguła) trójczłonowa – własność rodzin wielomianów ortogonalnych.

Twierdzenie

Niech $P_{n}(x),$ gdzie $n\in \mathbb {N}$ będzie rodziną rzeczywistych wielomianów ortogonalnych. Spełniona jest wówczas zależność:

$xP_{n}(x)=a_{n,n}P_{n}(x)+a_{n-1,n}P_{n-1}(x)+a_{n+1,n}P_{n+1}(x),$

gdzie $a_{n,m}={\frac {\langle xP_{m},P_{n}\rangle }{\|P_{n}\|^{2}}}$ oraz $\langle \cdot ,\;\cdot \rangle$ jest iloczynem skalarnym. Własność tę nazywamy formułą trójczłonową.

Przykład

Formuła trójczłonowa dla wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju:

$xT_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}T_{k-1}(x)+{\tfrac {1}{2}}T_{k+1}(x).$