Iloczyn skalarny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowych. Zobacz też: iloczyn skalarny określany w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych.

Iloczyn skalarny – pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.

Zasadniczym celem wprowadzania iloczynu skalarnego w danej przestrzeni liniowej jest wprowadzenie na niej geometrii euklidesowej, w szczególności kąta między dwoma wektorami, co umożliwia mówienie o ich prostopadłości (nazywanej w tym kontekście ich ortogonalnością, która jest nieznacznym uogólnieniem) oraz obrotu. Iloczyn skalarny stanowi więc pomost między geometrią syntetyczną a geometrią analityczną. Ponieważ trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa jest dobrym przybliżeniem świata rzeczywistego w skali makroskopowej, to iloczyn skalarny w niej określony znajduje zastosowanie w fizyce klasycznej, np. mechanice klasycznej (branie rzutów wektora siły wypadkowej jest tego przykładem); z kolei w mechanice kwantowej rozpatruje się (nieskończeniewymiarowe) przestrzenie Hilberta, czyli przestrzenie liniowe (nieskończonego wymiaru) z iloczynem skalarnym i dodatkową strukturą topologiczną (zob. Uogólnienia). Przykładowo praca mechaniczna to wielkość fizyczna wyrażająca się jako iloczyn skalarny siły oraz przemieszczenia

W artykule opisano iloczyn skalarny określony na rzeczywistych przestrzeniach współrzędnych[1] oraz wymiaru wraz z ortonormalną bazą standardową, nazywany też zwykłym, standardowym (w przestrzeniach afinicznych nazywa się go także euklidesowym); niżej określenia te będą pomijane (użyto notacji ustalonej w artykule o przestrzeniach współrzędnych[2]). Uogólnienia opisano w oddzielnej sekcji.

Definicja i własności[edytuj]

 Zobacz też: forma dwuliniowa.

Standardowy iloczyn skalarny definiuje się wzorem

w przypadku macierzowym (wykorzystując własności mnożenia macierzy) można go zapisać w postaci

gdzie oznacza transpozycję macierzy Wzór ten jest użyteczny także w ogólnym przypadku[3], lecz w przypadku przestrzeni liniowych wzór ten opisuje formę dwuliniową, tj. funkcję mającą szereg własności, które służą często jako abstrakcyjna, tzn. niezależna od współrzędnych, definicja iloczynu skalarnego (zob. przestrzeń unitarna). Wśród najważniejszych można wymienić:

  • przemienność (symetryczność),
  • rozdzielność względem dodawania wektorów (dwuaddytywność),
  • zgodność z mnożeniem przez skalar (dwujednorodność)[4],
  • niezdegenerowanie,
  • dodatnia określoność[5],

Jeśli to wektory oraz nazywa się ortogonalnymi. Wprost z definicji wynika, że jeśli choć jeden czynnik jest wektorem zerowym, to iloczyn skalarny również jest zerowy; może się jednak zdarzyć, iż choć oraz (zob. Przykłady); mówi się wtedy czasem o prostopadłości tych wektorów. Wektory zerowe są więc jedynym elementem odróżniającym ortogonalność od prostopadłości (geometrycznie wektor zerowy odpowiada punktowi, można więc uważać, że dowolny punkt jest prostopadły do wektora, odcinka czy prostej); w oznaczeniach nie odróżnia się zwykle jednego pojęcia od drugiego, oznaczając oba symbolem

Wynika stąd, że iloczyn skalarny, w przeciwieństwie do mnożenia liczb, nie spełnia prawa skracania (tj. z równości nie wynika , o ile tylko ). Otóż jeśli , to z prawa rozdzielności zachodzi , co jest możliwe wtedy, gdy są ortogonalne (tj. jeden z tych wektorów jest zerowy: lub bądź są one prostopadłe, tzn. ).

Przykłady[edytuj]

Iloczyn skalarny dwóch trójwymiarowych wektorów oraz wynosi

choć żaden z tych wektorów nie jest zerowy – oznacza to, że wektory te są ortogonalne (prostopadłe).

W jednowymiarowej przestrzeni iloczyn skalarny dany jest jako zwykłe mnożenie. Innym przykładem iloczynu skalarnego jest tzw. iloczyn wewnętrzny Frobeniusa, który jest iloczynem skalarnym na przestrzeni macierzy ustalonego typu danym „po współrzędnych”, tj. jako suma iloczynów odpowiadających sobie elementów tych macierzy (macierze dwuwymiarowe są więc traktowane jak „długie” wektory jednowymiarowe).

Interpretacja geometryczna[edytuj]

|A|•cos(θ) jest rzutem A na B

Iloczyn skalarny umożliwia wprowadzenie „długości” wektora, tj. jego modułu lub normy, mianowicie

przy czym wielkość ta jest poprawnie zdefiniowana, gdyż wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne (na mocy dodatniej określoności); jest to standardowa „długość” wektora dana z kilkukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.

Kąt między wektorami oraz dany jest wzorem

gdzie oznacza funkcję arcus cosinus (odwrotną do funkcji cosinus). Otóż jeśli wektory leżą względem siebie pod kątem a wektor jest dany jako dzięki czemu wektory te tworzą trójkąt, to zgodnie z twierdzeniem cosinusów dla tego trójkąta zachodzi

a ponieważ kwadrat modułu jest równy iloczynowi skalarnemu wektora przez siebie, to

skoro jednak to także

czyli

na mocy prawa rozdzielności. Porównując pierwsze i trzecie równanie na otrzymuje się

co po redukcji wyrazów podobnych i skróceniu czynnika daje

Wielkość jest równa długości (modułowi) rzutu wektora na wektor stąd powyższy wzór umożliwia geometryczną interpretację iloczynu skalarnego jako iloczynu długości tego rzutu przez długość Z postaci tej można dużo łatwiej odczytać, iż (niezerowe) wektory prostopadłe, tj. takie, dla których jest nieparzystą wielokrotnością mają iloczyn skalarny równy zeru.

Uogólnienia[edytuj]

Przestrzenie liniowe[edytuj]

 Zobacz też: przestrzeń liniowabaza.

Opisane w artykule własności geometryczne wynikają w dużej części z ustalenia bazy ortonormalnej, jaką jest baza standardowa. W gruncie rzeczy pojęcie prostopadłości ma sens geometryczny i przy podanej definicji wymaga bazy standardowej, z kolei ortogonalność jest definiowana za pomocą iloczynu skalarnego i pokrywa się z prostopadłością w przypadku użycia bazy standardowej. Jednakże różnice między tymi pojęciami często rozmywa się, gdyż dla dowolna przestrzeń liniowa skończonego wymiaru ma tę samą strukturę, co przestrzeń współrzędnych o tej samej liczbie wymiarów (przestrzenie te są izomorficzne).

Osobnym zagadnieniem jest trudność zdefiniowania pojęć geometrycznych (nawet w przypadku przestrzeni współrzędnych) w przypadku więcej niż trzech wymiarów – iloczyn skalarny jest wygodnym sposobem wprowadzenia zarówno długości (tj. normy), jak i kąta. Struktura unitarna (tj. obecność iloczynu skalarnego) czyni z przestrzeni liniowej przestrzeń unormowaną, która z kolei wprowadza w niej strukturę metryczną (pojęcie odległości). Stopniowe odrzucanie dodatkowych struktur umożliwiło wyabstrahowanie uogólnień pojęć długości i odległości właśnie w postaci normy i metryki.

Z interpretacji geometrycznej można się przekonać, iż standardowy iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na izometrie: obroty, odbicia (w przypadku przestrzeni afinicznych: przekształcenia afiniczne zachowujące początek przestrzeni). Przekształcenia liniowe, które zachowują powyższe własności, a w ogólności: przekształcenia, które zachowują iloczyn skalarny, nazywa się przekształceniami unitarnymi lub ortogonalnymi, a macierze tych przekształceńmacierzami unitarnymi lub ortogonalnymi. Innymi słowy przekształcenia unitarne przeprowadzają bazy ortonormalne na bazy ortonormalne, tj. zachowują normy wektorów (są izometriami) i kąty między nimi (są przekształceniami równokątnymi zachowującymi orientację), w szczególności mają jednostkowy wyznacznik i ślad równy stopniowi macierzy.

Przestrzenie unitarne[edytuj]

 Osobny artykuł: przestrzeń unitarna.

Przestrzeń wielomianów jednej zmiennej bądź przestrzeń funkcyjną funkcji całkowalnych z kwadratem o wartościach rzeczywistych określonych na odcinku jednostkowym mają nieskończone bazy (różnych mocy; są one izomorficzne z przestrzeniami współrzędnych odpowiednio: nieskończoną i uogólnioną, zob. przykłady przestrzeni liniowych), jednak możliwe jest w nich określenie iloczynu skalarnego: odpowiednio wzorem gdzie jest wielomianem zmiennej przy czym suma ta jest zawsze skończona (z definicji wielomianu), oraz (całka istnieje z założenia). Z powodu możliwości pomylenia zwykłego iloczynu funkcji z ich iloczynem skalarnym ten drugi oznacza się zwykle symbolami co może z kolei prowadzić do pomyłki z oznaczeniami przedziałów bądź pary uporządkowanej, bądź nawet

Reprezentacja macierzowa[edytuj]

Iloczyn skalarny, jak każdą formę dwuliniową, można przedstawić w postaci macierzy; przykładowo niech będzie bazą (niekoniecznie standardową) przestrzeni Iloczyn skalarny wektorów (kolumnowych) tej przestrzeni dany jest wtedy jako

gdzie oznacza wektor kolumnowy, a to wektor wierszowy współrzędnych wektora (kolumnowego) wyrażonych w bazie [6], zaś macierz stopnia jest reprezentacją macierzową iloczynu skalarnego (która musi być dodatnio określona i symetryczna) w bazie opisywanego wzorem

w szczególności jeśli jest bazą standardową, to jest macierzą jednostkową, co prowadzi przedstawionego w sekcji Definicja wzoru dla macierzy.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]

Przypisy

  1. Wektory w przestrzeni współrzędnej (jak w dowolnej przestrzeni liniowej) zaczepione są w jej początku (zob. wektor zerowy); można także rozpatrywać przestrzenie afiniczne, w których wektory zaczepione mogą być w dowolnych punktach, jednak iloczyn skalarny może być obliczany wyłącznie dla wektorów o wspólnym początku.
  2. Elementy przestrzeni czyli ciągi -elementowe (zapisywane w nawiasach okrągłych), nazywane będą wektorami i oznaczane będą małymi, półtłustymi, prostymi literami alfabetu łacińskiego, z kolei elementy przestrzeni czyli macierze jednokolumnowe o wierszach (zapisywane w nawiasach kwadratowych), nazywane będą wektorami kolumnowymi i oznaczane dużymi, półtłustymi, prostymi, literami alfabetu łacińskiego; składowe wektorów (kolumnowych) i skalary będą zapisywane pismem pochyłym; oznaczenia literowe wektorów i ich składowych pokrywają się, numer składowej wskazano w indeksie dolnym.
  3. Tj. w przypadku modułów nad pierścieniami; zob. moduł dualny i para dualna.
  4. Rozdzielność wraz ze zgodnością z mnożeniem przez skalar, tj. addytywność i jednorodność, ze względu na każdy argument nazywa się liniowością (por. forma liniowa); własność ta zachodzi ze względu na każdy z dwóch czynników, w tej sytuacji mówi się o dwuliniowości (por. forma dwuliniowa).
  5. Dodatnia określoność wynika z niezdegenerowania w przypadku rzeczywistym (i zespolonym, gdzie dwuliniowość zastępuje się w tym celu półtoraliniowością).
  6. Tj. jeśli jest wektorem kolumnowym współrzędnych wektora w bazie to