Funkcja produkcji Leontiefa

Graficzne przedstawienie funkcji

Funkcja produkcji Leontiefa – funkcja zaproponowana przez amerykańskiego ekonomistę rosyjskiego pochodzenia, Wassily’ego Leontiefa. Funkcja ta jest przypadkiem brzegowym funkcji produkcji CES, dla której elastyczność substytucji czynników produkcji $\sigma =0.$ W funkcji tej nie jest możliwe zastąpienie jednego czynnika drugim. Takie czynniki nazywane są doskonale komplementarnymi.

Funkcję Leontiefa można zapisać w następujący sposób:

$f(k,l)=\min(\alpha k,\beta l),$

gdzie:

$\alpha ,\beta >0,$

$k$ – kapitał,

$l$ – praca.

Własności funkcji

Funkcja Leontiefa ma kształt litery „L” i jest nieróżniczkowalna w punkcie, gdzie $\alpha k=\beta l.$ Nachylenie prostej, która łączy wierzchołki izokwant dla różnych poziomów produkcji, wyraża się wzorem ${\tfrac {\alpha }{\beta }}.$ Korzyści skali właściwe dla tej funkcji są stałe.

Optymalizacja kosztów

Firma optymalizująca koszty nie będzie marnowała żadnego czynnika, którego cena jest większa od zera. Z tego powodu, aby zminimalizować koszty, będzie operować na poziomie, gdzie produkcja $y=\alpha k=\beta l.$ Jeżeli firma chce produkować $y$ dóbr, musi użyć ${\tfrac {y}{\alpha }}$ jednostek czynnika $k$ i ${\tfrac {y}{\beta }}$ jednostek czynnika $l$ bez względu na ich ceny $w_{1}$ i $w_{2}.$

Funkcja kosztów wygląda więc następująco:

$c(w_{1},w_{2},y)={\tfrac {w_{1}y}{\alpha }}+{\tfrac {w_{2}y}{\beta }}=y\left({\tfrac {w_{1}}{\alpha }}+{\tfrac {w_{2}}{\beta }}\right).$

Przykłady

Firma A świadczy usługi wykonywania wykopów pod fundamenty. Aby wykonać jeden wykop, firma potrzebuje jednego pracownika i jednej koparki – $\alpha$ i $\beta$ są równe 1. Zatem ilość wykopów, jaką firma jest w stanie wykonać, jest równa minimum z liczby pracowników i liczby koparek, jaką dysponuje.

Taką funkcję produkcji można zapisać:

$f(k,l)=\min(k,l),$

gdzie:

$k$ – liczba koparek,

$l$ – liczba zatrudnionych pracowników.

Firma B produkuje samochody. Dla uproszczenia, firma używa jedynie czterech opon i jednej kierownicy do wyprodukowania jednego samochodu. Liczbę wyprodukowanych przez firmę B samochodów można przedstawić następująco:

$f(x_{1},x_{2})=\min \left({\tfrac {1}{4}}x_{1},x_{2}\right),$

gdzie:

$x_{1}$ – liczba opon,

$x_{2}$ – liczba kierownic.