Matryca logiczna języka zdaniowego

Matryca logiczna dla języka zdaniowego ${\mathcal {L}}$ sygnatury $\varsigma$ – para ${\mathcal {M}}=\langle {\mathcal {A}},D\rangle ,$ gdzie ${\mathcal {A}}$ jest algebrą sygnatury $\varsigma ,$ zaś $D\subseteq |{\mathcal {A}}|.$ Algebrę ${\mathcal {A}}$ nazywamy algebrą matrycy ${\mathcal {M}},$ wyróżniony zbiór $D$ zaś, zbiorem jej prawd. Często dla danej matrycy ${\mathcal {M}},$ jej algebrę oznaczamy tym samym symbolem ${\mathcal {M}},$ a zbiór jej prawd symbolem ${\mathcal {M}}^{\star }.$

Formuła $\delta$ języka ${\mathcal {L}}$ jest prawdziwa w ${\mathcal {M}},$ jeśli $h(\delta )\in {\mathcal {M}}^{\star }$ dla dowolnego homomorfizmu $h$ algebry języka ${\mathcal {L}}$ w algebrę matrycy ${\mathcal {M}}.$

Zbiór formuł prawdziwych w ${\mathcal {M}}$ oznacza się symbolem $E({\mathcal {M}})$ i nazywa zawartością matrycy ${\mathcal {M}}.$ Zbiór formuł $X$ jest prawdziwy w ${\mathcal {M}},$ jeśli $X\subseteq E({\mathcal {M}}).$

Zbiór formuł $X$ języka ${\mathcal {L}}$ jest spełnialny w ${\mathcal {M}},$ jeśli $h\;{\grave {}}\,{\grave {}}X\subseteq {\mathcal {M}}^{\star }$ dla pewnego homomorfizmu $h$ algebry języka ${\mathcal {L}}$ w algebrę matrycy ${\mathcal {M}}.$

Operatorem konsekwencji matrycy ${\mathcal {M}}$ nazywamy funkcję ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}\colon \wp {\Big (}\mathbf {Frm} _{\mathcal {L}}{\Big )}\to \mathbf {Frm} _{\mathcal {L}}$ daną wzorem:

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}(X)=\{\delta :\bigwedge _{v:\mathbf {P} \to |{\mathcal {M}}|}{\big (}{\widehat {v}}\;{\grave {}}\,{\grave {}}X\subseteq {\mathcal {M}}^{\star }\;\Rightarrow \;{\widehat {v}}(\delta )\in {\mathcal {M}}^{\star }{\big )}\}.$

Matryca ${\mathcal {M}}$ jest adekwatna dla rachunku zdaniowego ${\mathfrak {R}},$ jeśli $E({\mathcal {M}})=\mathbf {Cn} _{\mathfrak {R}}(\emptyset ).$

Matrycą Lindenbauma dla rachunku zdaniowego ${\mathfrak {R}}$ jest matryca ${\mathfrak {L}}_{\mathfrak {R}}=\langle {\mathfrak {A}}_{\mathcal {L}},\mathbf {Cn} _{\mathfrak {R}}(\emptyset )\rangle .$ Jeśli ${\mathfrak {R}}$ jest inwariantny, to matryca ta jest adekwatna dla tego rachunku.

Matryca ta jest dla rachunku ${\mathfrak {R}}$ silnie adekwanta, jeśli ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}=\mathbf {Cn} _{\mathfrak {R}}.$

W przypadku wybranych algebr, takich jak np. algebry Boole’a, Heytinga, Łukasiewicza i in., przenosimy pojęcia prawdziwości/spełnialności formuły/zbioru formuł na grunt tychże, mając na myśli odpowiedniki tych pojęć w matrycy, której algebrą jest dana algebra, a zbiorem wyróżnionym jest jednoelementowy zbiór zawierający element największy tej algebry.

Np. algebrze Heytinga ${\mathcal {H}}$ odpowiada matryca $\langle {\mathcal {H}},\{\top \}\rangle ,$ a algebrze Łukasiewicza ${\mathcal {L}}_{n}\!\!\!\!\!\!\!\!-$ matryca $\langle {{\mathcal {L}}_{n}\!\!\!\!\!\!\!\!-}\;\;,\{1\}\rangle .$