Algebra ogólna

Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna) – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną).

Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne.

Definicje

Definicja 1

Niech ${\mathfrak {F}}$ będzie zbiorem i niech $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N} }_{0}.$

Algebrą sygnatury $\varsigma$ jest para ${\mathcal {A}}=\langle A,{\mathcal {J}}\rangle ,$ gdzie $A$ jest zbiorem (zwykle niepustym), a ${\mathcal {J}}$ jest funkcją, która elementowi ${\mathfrak {f}}$ zbioru ${\mathfrak {F}}$ przyporządkowuje $\varsigma ({\mathfrak {f}})$-argumentowe działanie ${\mathcal {J}}({\mathfrak {f}})$ w zbiorze $A.$ Zbiór $A$ nazywamy uniwersum algebry ${\mathcal {A}},$ funkcję ${\mathcal {J}}$ interpretacją zbioru ${\mathfrak {F}}$ w algebrze ${\mathcal {A}}.$

Dla danej algebry ${\mathcal {A}},$ jej uniwersum oznacza się zazwyczaj jako $|{\mathcal {A}}|.$ Także zamiast pisać ${\mathcal {J}}({\mathfrak {f}})$ pisze się ${\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})$ albo ${\mathfrak {f}}^{\mathcal {A}}.$

Definicja 2

Algebrą nazywamy zbiór ${\mathfrak {G}}$, na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór $\Omega$ operacji n-arnych.

Zbiór symboli operacji $\Omega ,$ dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja $\omega \in \Omega$ jest n-arna, to używa się zapisu $\omega \in \Omega _{n}.$

Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt – algebrę $\omega .$ W pierwszej definicji zbiór ${\mathfrak {F}}$ jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, ${\mathcal {J}}$ jest funkcją przypisującą nazwie operację n-arną algebry, a funkcja $\varsigma$ przypisuje nazwie operacji jej arność.

Definicja 3

Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

$\mathbf {A} =(A,a_{1},a_{2},...,a_{m},f_{1},f_{2},...,f_{n}),$

gdzie $A$ jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry), elementy $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ są pewnymi elementami zbioru $A$ (nazywanymi elementami wyróżnionymi), a $f_{1},f_{2},...,f_{n}$ są działaniami określonymi w zbiorze $A,$ przy czym $f_{i}$ jest działaniem $k_{i}$ – argumentowym, tzn. $f_{i}:A^{k_{i}}\to A$ oraz $k_{i}>0.$

Dwie algebry:

$\mathbf {A} =(A,a_{1},a_{2},...,a_{m},f_{1},f_{2},...,f_{n})$

i

$\mathbf {B} =(B,b_{1},b_{2},...,b_{r},g_{1},g_{2},...,g_{s})$

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli $m=r$ oraz $n=s,$ oraz dla każdego $i\in \{1,2,...,n\}$ działania $f_{i}$ oraz $g_{i}$ są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. $f_{i}:A^{k_{i}}\to A$ oraz $g_{i}:B^{k_{i}}\to B.$

Przykłady algebr

1. Algebra Peana arytmetyki liczb naturalnych, ${\mathfrak {N}}$:

   $\varsigma _{\mathbf {PA} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {P} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&2&0&0\end{array}}\right\rangle ,$

   ${\mathfrak {N}}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b\,,\;{\mathfrak {N}}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cdot b,$

   ${\mathfrak {N}}(\mathbf {P} )(a,b)=a^{b}\,,\;\,a,b\in \mathbb {N} _{0}$ oraz ${\mathfrak {N}}(\mathbf {O} )=0\,,\;{\mathfrak {N}}(\mathbf {I} )=1.$

2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, ${\mathfrak {N}}^{(+)}$:

   $\varsigma _{\mathbf {Pr} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&0&0\end{array}}\right\rangle ,$

   ${\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b\,,\;\,a,b\in \mathbb {N} _{0}\quad {\mbox{oraz}}\quad {\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {O} )=0\,,\;{\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {I} )=1.$

3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia, ${\mathfrak {N}}^{(\bullet )}$:

   $\varsigma _{\mathbf {Ceg} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {M} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&0&0\end{array}}\right\rangle ,$

   ${\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {A} )(a,b)=a\cdot b\,,\;\,a,b\in \mathbb {N} _{0}\quad {\mbox{oraz}}\quad {\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {O} )=0\,,\;{\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {I} )=1.$

4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych, ${\mathfrak {Z}}$:

   $\varsigma _{\mathfrak {Z}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {Sb} &\mathbf {N} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&2&1&0&0\end{array}}\right\rangle ,$

   ${\mathfrak {Z}}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b\,,\;{\mathfrak {Z}}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cdot b\,,\;{\mathfrak {Z}}(\mathbf {Sb} )(a,b)=a-b\,,\;a,b\in \mathbb {Z} ,$

   ${\mathfrak {Z}}(\mathbf {N} )(a)=-a\,,\;\;a\in \mathbb {Z}$ oraz ${\mathfrak {Z}}(\mathbf {O} )=0\,,\;{\mathfrak {Z}}(\mathbf {I} )=1.$

5. Algebra podzbiorów zbioru $X$, ${\mathfrak {P}}_{(X)}$:

   $\varsigma _{\mathbf {BA} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf {J} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&1&0&0\end{array}}\right\rangle ,$

   ${\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {J} )(a,b)=a\cup b\,,\;{\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cap b\,,\;\;a,b\in \wp (X),$

   ${\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {N} )(a)=X\setminus a\,,\;\;a\in \wp (X),$ oraz ${\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {O} )=\emptyset \;\,,\;{\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {I} )=X.$

6. Krata podzielności w $\mathbb {N}$, ${\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}$:

   $\varsigma _{\mathbf {B\cdot Lat} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {J} &\mathbf {M} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&0&0\end{array}}\right\rangle ,$

   ${\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {J} )(a,b)=\mathbf {nwd} \{a,b\}\,,\;{\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {M} )(a,b)=\mathbf {nww} ({a,b})\,,\;\;a,b\in \mathbb {N} \,\;$ (zob. nww, nwd)
   oraz ${\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {O} )=1\;\,,\;{\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {I} )=0.$

Redukty i wzbogacenia

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N} }$ i niech ${\mathfrak {F}}_{0}\subseteq {\mathfrak {F}}.$

Reduktem prostym algebry ${\mathcal {A}}$ do ${\mathfrak {F}}_{0}$ nazywamy algebrę ${\mathcal {A}}|_{\mathfrak {F_{0}}}=\langle A,{\mathcal {J}}|_{\mathfrak {F_{0}}}\rangle .$

Algebra ${\mathcal {B}}$ jest wzbogaceniem (prostym) algebry ${\mathcal {A}},$ jeśli ${\mathcal {A}}$ jest reduktem (prostym) algebry ${\mathcal {B}}.$

Przykłady

• ${\mathfrak {N}}^{(+)}$ i ${\mathfrak {N}}^{(\bullet )}$ są reduktami prostymi ${\mathfrak {N}}$
• Algebrę ${\mathfrak {P}}_{(X)}|_{\{\mathbf {J} ,\mathbf {M} \}}$ nazywamy kratą podzbiorów zbioru $X.$

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni, czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieproste

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma :{\mathfrak {F}}\to \mathbb {N}$ i niech $\pi \colon {\mathfrak {F}}_{0}\to {\mathfrak {F}}$ będzie różnowartościowe.

Reduktem nieprostym algebry ${\mathcal {A}}$ do $\pi$ nazywamy algebrę ${\mathcal {A}}|_{\pi }$ sygnatury $\varsigma \circ \pi ,$ której uniwersum jest $|{\mathcal {A}}|$ i w której

${\mathfrak {f}}^{({\mathcal {A}}|_{\pi })}={\mathcal {A}}{\big (}\pi ({\mathfrak {f}}){\big )}\quad ,\qquad f\in {\mathfrak {F}}_{0}$

Przykłady

Pierścień to taka algebra ${\mathcal {R}}$ sygnatury$\varsigma _{\mathbf {ring} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \\\hline 2&2&1&0\end{array}}\right\rangle ,$ że redukt ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}}$ jest grupą przemienną, a ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} \}}$ jest półgrupą oraz spełnione są równości:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad {\mbox{i}}\quad (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\qquad ,\quad x,y,z\in |{\mathcal {R}}|.$

gdzie

$x+y=\mathbf {A} ^{\mathcal {R}}(x,y)\,,\;x\cdot y=\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}(x,y)\,,\;-x=\mathbf {N} ^{\mathcal {R}}(x)\,,\;0=\mathbf {Z} ^{\mathcal {R}}\,,\qquad x,y\in |{\mathcal {R}}|.$

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której $\{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}$ jest innym zapisem funkcji $\pi =\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {E} \\\hline \mathbf {A} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \end{array}}\right\rangle .$

Ciało to taka algebra ${\mathcal {F}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {field} }=\varsigma _{\mathbf {ring} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1,\mathbf {J} \mapsto 0\},$ że ${\mathcal {F}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}$ jest pierścieniem, a ${\mathcal {F}}|_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {R} /\mathbf {N} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}$ jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

$1=\mathbf {A} ^{\mathcal {F}}(x,y)\,,\;x^{-1}=\mathbf {R} ^{\mathcal {F}}(x)\,,\qquad x\in |{\mathcal {F}}|.$

Podalgebry

Algebra ${\mathcal {C}}$ jest podalgebrą algebry ${\mathcal {A}},$ jeśli

1. $|{\mathcal {C}}|\subseteq |{\mathcal {A}}|$       oraz
2. ${\mathcal {C}}({\mathfrak {f}})={\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})|_{{\big (}|{\mathcal {C}}|{\big )}^{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\;,{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.$

Uwaga 1

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie algebrą. Na to, aby $C\subseteq |{\mathcal {A}}|$ było uniwersum podalgebry algebry ${\mathcal {A}}$ potrzeba i wystarcza, aby $\qquad {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})|_{{\big (}|{\mathcal {C}}|{\big )}^{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\subseteq |C|\;,\qquad {\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}$

Uwaga 2

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie algebrą i niech $C\subseteq |{\mathcal {A}}|.$ Wówczas wśród podalgebr algebry ${\mathcal {A}},$ których uniwersum zawiera $C$ istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez $C$ i oznacza się ${\mathcal {A}}[C]$ albo $\langle C\rangle _{\mathcal {A}}.$

Przykłady

1. Algebra ${\mathfrak {N}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}$ jest podalgebrą algebry ${\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}.$
2. Podalgebrą algebry ${\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}$ generowaną przez $\{1\}$ jest ${\mathfrak {N}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}.$
3. Podalgebrą algebry ${\mathfrak {Z}}$ generowaną przez $\{1\}$ jest ${\mathfrak {Z}}.$
4. Uniwersum podalgebry algebry ${\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {M} \}}$ generowanej przez $\{-1\}$ jest $\{-1,1\}.$
5. Podalgebrą algebry ${\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$ generowanej przez $\{-1\}$ jest ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}.$

Homomorfizmy

Niech ${\mathcal {A}}$ i ${\mathcal {B}}$ będą algebrami tej samej sygnatury $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N} }_{0}.$
Funkcja $h\colon |{\mathcal {A}}|\to |{\mathcal {B}}|$ jest homomorfizmem algebr ${\mathcal {A}}$ i ${\mathcal {B}},$ jeśli

${\mathcal {B}}({\mathfrak {f}}){\big (}h(a_{1}),\ldots ,h(a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}){\big )}=h{\big (}{\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}){\big )}\quad ,\qquad a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.$

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z ${\mathcal {A}}$ do ${\mathcal {B}}$ oznaczamy $\mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).$

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z ${\mathcal {A}}$ do ${\mathcal {B}}$ oznaczamy $\mathbf {mon} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).$

Homomorfizm „na” nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z ${\mathcal {A}}$ do ${\mathcal {B}}$ oznaczamy $\mathbf {epi} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).$

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z ${\mathcal {A}}$ do ${\mathcal {B}}$ oznaczamy $\mathbf {iso} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).$

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry ${\mathcal {A}}$ oznaczamy $\mathbf {endo} ({\mathcal {A}}).$ Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry ${\mathcal {A}}$ oznaczamy $\mathbf {aut} ({\mathcal {A}}).$

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.

Zauważmy, że algebra ${\mathcal {A}}$ jest podalgebrą algebry ${\mathcal {B}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf {id} _{|{\mathcal {A}}|}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}).$

Jeśli $h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}),$ to podalgebrę algebry ${\mathcal {B}}$ wyznaczoną przez $h{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {A}}|$ nazywamy obrazem homomorfizmu $h$ i oznaczamy $\mathbf {im} (h).$

Przykłady

1. Odwzorowanie $\mathbb {N} \ni x\mapsto 2x\in \mathbb {Z}$ jest w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}),$
   ale nie jest ani w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}}),$ ani w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {M} ,\mathbf {A} \}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {M} ,\mathbf {A} \}}).$
2. Odwzorowanie $\mathbb {Z} \ni x\mapsto |x|\in \mathbb {N}$ jest w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {M} \}}\,,\,{\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {M} \}}),$, ale nie jest w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}}\,,\,{\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}}).$
3. Jedynym homomorfizmem ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$ w ${\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$ jest $h\equiv 0.$
4. Jedynymi homomorfizmami ${\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$ w ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$ są $h\equiv 0$ i $h\equiv \mathbf {id} _{\mathbb {N} }.$
5. Jedynym homomorfizmem ${\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$ w ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$ jest $h\equiv \mathbf {id} _{\mathbb {N} }.$
6. Jedynymi homomorfizmami ${\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}$ i ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}$ są postaci $\mathbb {N} \ni x\mapsto k\cdot x\in \mathbb {Z} ,$ dla pewnego $k\in \mathbb {Z} .$

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N} }_{0}.$
Relacja równoważności $\approx$ w $|{\mathcal {A}}|$ jest kongruencją algebry, gdy

$a_{1}\approx b_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\approx b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\quad \Rightarrow \quad {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})})\approx {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(b_{1},\ldots ,b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}),$

$a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\,,\;b_{1},\ldots ,b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.$

Przykład

Niech $h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ i niech

$a\approx _{h}b\quad \Leftrightarrow \quad h(a)=h(b)\qquad ,\quad \qquad a,b\in |{\mathcal {A}}|$

Wówczas $\approx _{h}$ jest kongruencją algebry ${\mathcal {A}}.$

Algebra ilorazowa

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N} }_{0}$ i niech $\approx$ będzie kongruencją w ${\mathcal {A}}.$

Algebrą ilorazową ${\mathcal {A}}$ przez $\approx$ jest algebra ${\mathcal {A}}/\!_{\approx },$ której uniwersum jest zbiór ilorazowy $|{\mathcal {A}}|/\!_{\approx }$ i w której:

$\left({\mathcal {A}}\!/\!_{\approx }\right)({\mathfrak {f}})(a_{1}/\!_{\approx },\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}/\!_{\approx })=\left({\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})})\right)\!\!/\!_{\approx }\quad ,\qquad a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}$

Przyporządkowanie $|{\mathcal {A}}|\ni a\mapsto a\!/\!_{\approx }\in |{\mathcal {A}}|/\!_{\approx }$ nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem $\kappa _{\approx }.$ Jest ono homomorfizmem algebr ${\mathcal {A}}$  i  ${\mathcal {A}}/\!_{\approx }.$

Zasadnicze twierdzenie algebry

Niech $h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}),$ wówczas ${\mathcal {A}}\!/\!_{\approx _{h}}$ i $\mathbf {im} (h)$ są izomorficzne.

Szczególne algebry

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

Zbiór

Zbiór to algebra ${\mathcal {S}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {set} }=\varnothing .$

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktem

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra ${\mathcal {S}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {set\bullet } }=\{\mathbf {P} \mapsto 0\},$ gdzie element $\mathbf {P} ^{\mathcal {S}}$ nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry ${\mathcal {S}}.$

Element ten oznacza się niekiedy symbolem $\bullet .$ Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym $0$).

Algebra unarna

Algebra unarna to algebra ${\mathcal {U}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {unalg} }=\{\mathbf {R} \mapsto 1\},$ gdzie $\mathbf {R} ^{\mathcal {A}}(x)$ może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. $\sim \!x,$ $\neg x,$ czy $-x$ w notacji prefiksowej, $x',$ $x^{-1}$ w notacji postfiksowej, czy też ${\overline {x}}$ z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.

Grupoid

Grupoid to algebra ${\mathcal {A}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {grpd} }=\{\mathbf {M} \mapsto 2\},$, czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.

Zamiast ${\mathcal {A}}(\mathbf {M} )(x,y)$ zwykle pisze się $x\cdot y$ lub nawet $xy$ (tzw. notacja multiplikatywna) lub $x+y$ (tzw. notacja addytywna), gdzie $x,y\in |{\mathcal {A}}|.$

W notacji multiplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Quasi-grupa

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu ${\mathcal {A}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {qgrp} }=\varsigma _{\mathbf {grpd} }\cup \{\mathbf {D_{l}} \mapsto 2,\mathbf {D_{r}} \mapsto 2\},$ w którym spełnione są równości:

$x\cdot (x\backslash y)=y,\;x\backslash (x\cdot y)=y,\;(x/y)\cdot y=x,\;(x\cdot y)/y=x,$

gdzie

$x\backslash y:={\mathcal {A}}(\mathbf {D_{l}} )(x,y),\;x/y:={\mathcal {A}}(\mathbf {D_{r}} )(x,y),$ gdzie $x,y\in |{\mathcal {A}}|.$

Działania „$/$” i „$\backslash$” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

Lupa

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy ${\mathcal {A}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {qgrp} }\cup \{\mathbf {E} \mapsto 0\},$ które spełnia równości

$x\cdot \mathbf {e} =\mathbf {e} \cdot x=x,\;x\in |{\mathcal {A}}|,$

gdzie $\mathbf {e} ={\mathcal {A}}(\mathbf {E} ).$

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

Półgrupa

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.

Monoid

Monoid to wzbogacenie półgrupy ${\mathcal {A}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {mon} }=\varsigma _{\mathbf {grpd} }\cup \{\mathbf {E} \mapsto 0\},$ które spełnia równości

$x\cdot \mathbf {e} =\mathbf {e} \cdot x=x,\;x\in |{\mathcal {A}}|,$

gdzie $\mathbf {e} ={\mathcal {A}}(\mathbf {E} )$ w notacji multiplikatywnej, często też $1={\mathcal {A}}(\mathbf {E} ).$ W notacji addytywnej zamiast ${\mathcal {A}}(\mathbf {E} )$ pisze się zwykle $0.$

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

Grupa

Grupa jest wzbogaceniem monoidu ${\mathcal {A}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {mon} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1\},$ które spełnia równości

$x\cdot {\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)={\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)\cdot x=\mathbf {e}$ dla $x\in |{\mathcal {A}}|.$

Standardowym oznaczeniem ${\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)$ jest $x^{-1},$ niekiedy również $x^{\prime },$ w notacji multiplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do $x.$ W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem $-x$ i nazywa elementem przeciwnym do $x.$

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.

Pierścień

Pierścień to algebra ${\mathcal {R}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {ring} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \\\hline 2&2&1&0\end{array}}\right\rangle ,$ dla której redukt ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} /\mathbf {R} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}}$ jest grupą przemienną, a ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} \}}$ jest półgrupą oraz spełnione są równości:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ i $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ dla $x,y,z\in |{\mathcal {R}}|,$

gdzie

$x+y=\mathbf {A} ^{\mathcal {R}}(x,y),$

$x\cdot y=\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}(x,y),$

$-x=\mathbf {N} ^{\mathcal {R}}(x),$

$0=\mathbf {Z} ^{\mathcal {R}}$

dla $x,y\in |{\mathcal {R}}|.$

Działanie $\mathbf {A} ^{\mathcal {R}}$ nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie $\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}$ jego mnożeniem.

Uwaga

W dowolnym pierścieniu zachodzi $0\cdot x=x\cdot 0=0.$

Ponieważ $0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x,$ to $0\cdot x=0.$ Podobnie $x\cdot 0=0.$

Pierścień, w którym działanie $\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}$ jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką to algebra ${\mathcal {R}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {ring1} }=\varsigma _{\mathbf {ring} }\cup \{\mathbf {J} \mapsto 0\},$ że ${\mathcal {R}}_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}$ jest pierścieniem, a ${\mathcal {R}}_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}$ jest monoidem.

Element $\mathbf {J} ^{\mathcal {R}}$ nazywamy jedynką pierścienia ${\mathcal {R}}.$ Oznaczamy go zazwyczaj symbolem $1.$

Pierścień z dzieleniem

Pierścień z dzieleniem to algebra ${\mathcal {R}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {ring1} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1\},$ że ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}$ jest pierścieniem, a ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {R} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}$ jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

$x^{-1}=\mathbf {R} ^{\mathcal {R}}(x),$ gdzie $x\in |{\mathcal {R}}|.$

Ciało

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

Krata

Kratą nazywamy algebrę ${\mathcal {K}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {latt} }=\{\mathbf {A} \mapsto 2,\mathbf {K} \mapsto 2\},$ w której spełnione są równości:

$x\sqcap y=y\sqcap x,\quad x\sqcap (y\sqcap z)=(x\sqcap y)\sqcap z,\quad x\sqcap (x\sqcup y)=x,$

$x\sqcup y=y\sqcup x,\quad x\sqcup (y\sqcup z)=(x\sqcup y)\sqcup z,\quad x\sqcup (x\sqcap y)=x,$

gdzie użyto oznaczeń

$x\sqcup y={\mathcal {K}}(\mathbf {A} )(x,y)$

oraz

$x\sqcap y={\mathcal {K}}(\mathbf {K} )(x,y).$

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

$x\sqcap (y\sqcup z)=(x\sqcap y)\sqcup (x\sqcap z)$

bądź

$x\sqcup (y\sqcap z)=(x\sqcup y)\sqcap (x\sqcup z).$

Innym warunkiem, tak koniecznym, jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

$(x\sqcap y)\sqcup (y\sqcap z)\sqcup (y\sqcap z)=(x\sqcup y)\sqcap (y\sqcup z)\sqcap (y\sqcup z),$ gdzie $x,y,z\in |{\mathcal {K}}|.$

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty są rozdzielne:

Krata dualna

Redukt ${\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }={\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {K} ,\mathbf {K} /\mathbf {A} \}}$ jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do ${\mathcal {K}}.$ Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem”

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty ${\mathcal {K}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {latt\_0} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0\},$ w której spełnione są równości:

$x\sqcap \bot =\bot$ oraz $x\sqcup \bot =x,$

gdzie element $\bot ={\mathcal {K}}(\mathbf {O} )$ nazywa się spodem lub zerem kraty ${\mathcal {K}}.$

Krata z „jedynką”

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty ${\mathcal {K}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {latt\_1} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {I} \mapsto 0\},$ w której spełnione są równości:

$x\sqcap \top =x$ oraz $x\sqcup \top =\top ,$

gdzie element $\top ={\mathcal {K}}(\mathbf {I} )$ nazywa się szczytem lub jedynką kraty ${\mathcal {K}}.$

Krata ograniczona

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty ${\mathcal {K}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {latt\_01} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0,\mathbf {I} \mapsto 0\},$ że ${\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {O} \}}$ jest kratą z zerem, a ${\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {I} \}}$ jest kratą z jedynką.

Krata komplementarna

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {lcmpl} }=\varsigma _{\mathbf {latt\_01} }\cup \{\mathbf {N} \mapsto 1\},$ w której spełnione są równości:

$x\sqcap \neg x=\bot$ oraz $x\sqcup \neg x=\top ,$

gdzie $\neg x={\mathcal {K}}(\mathbf {N} )(x)$ nazywa się uzupełnieniem elementu $x$ w ${\mathcal {K}}.$

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole’a.

Redukt ${\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }={\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {K} ,\mathbf {K} /\mathbf {A} ,\mathbf {N} ,\mathbf {O} /\mathbf {I} ,\mathbf {I} /\mathbf {O} \}}$ jest także algebrą Boole’a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry ${\mathcal {K}}.$

Krata implikacyjna

Relacja $\leqslant$ zdefiniowana wzorem

$x\leqslant y\Leftrightarrow x\sqcap y=x$

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje $\sqcap$ i $\sqcup$ są tożsame z operacjami infimum i supremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

$x\leqslant y\Leftrightarrow x\sqcup y=y.$

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty ${\mathcal {K}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {limpl} }=\varsigma _{\mathbf {latt\_1} }\cup \{\mathbf {C} \mapsto 2\},$ w której zachodzi:

$x\sqcap z\leqslant y\Leftrightarrow z\leqslant x\to y,$

gdzie element $x\to y={\mathcal {K}}(\mathbf {C} )(x,y)$ nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu $x$ względem $y.$

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

$x\to x=\top$ dla dowolnego $x\in |{\mathcal {K}}|.$

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra Heytinga

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej ${\mathcal {K}}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {LH} }=\varsigma _{\mathbf {limpl} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0,\mathbf {N} \mapsto 1\},$ której redukt ${\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {O} \}}$ jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

$\neg x=x\to \bot ,$

gdzie $\neg x=\mathbf {N} ^{\mathcal {K}}(x)$ dla $x\in |{\mathcal {K}}|.$

Uwaga

Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole’a:

Zobacz też

• algebra nad ciałem