Algebra ogólna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna)– obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2] .

Definicje[edytuj]

Definicja 1[edytuj]

Niech będzie zbiorem i niech .

Algebrą sygnatury jest para , gdzie jest zbiorem (zwykle niepustym), a jest funkcją, która elementowi zbioru przyporządkowuje -argumentowe działanie w zbiorze . Zbiór nazywamy uniwersum algebry , funkcję interpretacją zbioru w algebrze .

Dla danej algebry , jego uniwersum oznacza się zazwyczaj jako . Także zamiast pisać pisze się albo .

Definicja 2[edytuj]

Algebrą[1] nazywamy zbiór G, na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór operacji n-arnych.

Zbiór symboli operacji , dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja jest n-arna, to używa się zapisu .

Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt - algebrę . W pierwszej definicji zbiór jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, jest funkcją przypisującą nazwie operację n-arną algebry, a funkcja przypisuje nazwie operacji jej arność.

Definicja 3[edytuj]

Algebrą[3] (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

gdzie jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry), elementy są pewnymi elementami zbioru (nazywanymi elementami wyróżnionymi), a są działaniami określonymi w zbiorze , przy czym jest działaniem - argumentowym, tzn. oraz . Dwie algebry:

i

nazywamy algebrami podobnymi ( lub algebrami tego samego typu) jeśli oraz , oraz dla każdego działania oraz są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. oraz .

Przykłady algebr[edytuj]

  1. Algebra Peano arytmetyki liczb naturalnych,  .
    ,
    oraz
  2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, .
    ,
  3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia,  .
    ,
  4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych,  .
    oraz
  5. Algebra podzbiorów zbioru ,  .
    ,
    oraz
  6. Krata podzielności w ,  .
    ,
    (zob. nww, nwd)
    oraz

Redukty i wzbogacenia[edytuj]

Niech będzie algebrą sygnatury i niech .

Reduktem prostym algebry do nazywamy algebrę .

Przykłady[edytuj]

  • i są reduktami prostymi
  • Algebrę nazywamy kratą podzbiorów zbioru .

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni, czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieproste[edytuj]

Niech będzie algebrą sygnatury i niech będzie różnowartościowe. Reduktem nieprostym algebry do nazywamy algebrę sygnatury , której uniwersum jest i w której

Algebra jest wzbogaceniem (prostym) algebry , jeśli jest reduktem (prostym) algebry .

Przykłady[edytuj]

Pierścień to taka algebra sygnatury , że redukt jest grupą przemienną, a  jest półgrupą oraz spełnione są równości:

gdzie

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której jest innym zapisem funkcji

Ciało to taka algebra sygnatury , że jest pierścieniem, a  jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

Podalgebry[edytuj]

Algebra jest podalgebrą algebry , jeśli

  1.        oraz       
  2. .
Uwaga 1

Niech będzie algebrą. Na to, aby było uniwersum podalgebry algebry potrzeba i wystarcza, aby

Uwaga 2

Niech będzie algebrą i niech . Wówczas wśród podalgebr algebry , których uniwersum zawiera istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez i oznacza się albo .

Przykłady[edytuj]

  1. Algebra jest podalgebrą algebry .
  2. Podalgebrą algebry generowaną przez jest
  3. Podalgebrą algebry generowaną przez jest
  4. Uniwersum podalgebry algebry generowanej przez jest
  5. Podalgebrą algebry generowanej przez jest

Homomorfizmy[edytuj]

Niech i będą algebrami tej samej sygnatury .
Funkcję jest homomorfizmem algebr i , jeśli

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z do oznaczamy .

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z do oznaczamy .

Homomorfizm "na" nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z do oznaczamy .

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z do oznaczamy .

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry oznaczamy . Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry oznaczamy .

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.

Zauważmy, że algebra jest podalgebrą algebry wtedy i tylko wtedy, gdy .

Jeśli , to podalgebrę algebry wyznaczoną przez nazywamy obrazem homomorfizmu i oznaczamy .

Przykłady[edytuj]

  1. Odwzorowanie jest w  ,
    ale nie jest ani w , ani w .
  2. Odwzorowanie jest w , ale nie jest w .
  3. Jedynym homomorfizmem jest .
  4. Jedynymi homomorfizmami .
  5. Jedynym homomorfizmem jest .
  6. Jedynymi homomorfizmami są postaci , dla pewnego .

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry[edytuj]

Niech będzie algebrą sygnatury .
Relacja równoważności w jest kongruencją algebry, gdy

,

Przykład[edytuj]

Niech i niech

Wówczas jest kongruencją algebry .

Algebra ilorazowa[edytuj]

Niech będzie algebrą sygnatury i niech będzie kongruencją w .
Algebrą ilorazową przez jest algebra , której uniwersum jest zbiór ilorazowy i w której:

Przyporządkowanie nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem . Jest ono homomorfizmem algebr   i  .

Zasadnicze twierdzenie algebry[edytuj]

Niech , wówczas i są izomorficzne.

Szczególne algebry[edytuj]

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

Zbiór[edytuj]

 Osobny artykuł: zbiór.

Zbiór to algebra sygnatury .

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktem[edytuj]

 Osobny artykuł: zbiór z wyróżnionym punktem.

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra sygnatury , gdzie element nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry .

Element ten oznacza się niekiedy symbolem . Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym ).

Algebra unarna[edytuj]

Algebra unarna to algebra sygnatury , gdzie może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. , , czy w notacji prefiksowej, , w notacji postfiksowej, czy też z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.

Grupoid[edytuj]

 Osobny artykuł: grupoid.

Grupoid to algebra sygnatury , czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.

Zamiast zwykle pisze się lub nawet (tzw. notacja multyplikatywna) lub (tzw. notacja addytywna), gdzie .

W notacji multyplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Quasi-grupa[edytuj]

 Osobny artykuł: quasi-grupa.

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu do sygnatury , w którym spełnione są równości:

,

gdzie

, gdzie .

Działania „” i „” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

Lupa[edytuj]

 Zobacz też: quasi-grupa.

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy do sygnatury , które spełnia równości

,

gdzie .

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

Półgrupa[edytuj]

 Osobny artykuł: półgrupa.

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.

Monoid[edytuj]

 Osobny artykuł: monoid.

Monoid to wzbogacenie półgrupy do sygnatury , które spełnia równości

,

gdzie w notacji multyplikatywnej, często też . W notacji addytywnej zamiast pisze się zwykle .

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

Grupa[edytuj]

 Osobny artykuł: grupa (matematyka).

Grupa jest wzbogaceniem monoidu do sygnatury , które spełnia równości

dla .

Standardowym oznaczeniem jest , niekiedy również , w notacji multyplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do . W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem i nazywa elementem przeciwnym do .

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.

Pierścień[edytuj]

Pierścień to algebra sygnatury , dla której redukt jest grupą przemienną, a  jest półgrupą oraz spełnione są równości:

i dla ,

gdzie

,
,
,

dla .

Działanie nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie jego mnożeniem.

Uwaga
W dowolnym pierścieniu zachodzi .
Ponieważ , to . Podobnie .

Pierścień, w którym działanie jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynką[edytuj]

 Osobny artykuł: pierścień z jedynką.

Pierścień z jedynką to algebra sygnatury , że jest pierścieniem, a  jest monoidem.

Element nazywamy jedynką pierścienia . Oznaczamy go zazwyczaj symbolem .

Pierścień z dzieleniem[edytuj]

 Osobny artykuł: pierścień z dzieleniem.

Pierścień z dzieleniem to algebra sygnatury , że jest pierścieniem, a  jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

, gdzie .

Ciało[edytuj]

 Osobny artykuł: ciało (matematyka).

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

Krata[edytuj]

 Osobny artykuł: krata (porządek).

Kratą nazywamy algebrę sygnatury , w której spełnione są równości:

,
,

gdzie użyto oznaczeń

oraz

.

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

bądź

.

Innym warunkiem, tak koniecznym jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

, gdzie .

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Minimalne kraty nierozdzielne

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty rozdzielne:

To są kraty rozdzielne, mimo iż wydaje się, że zawierają wymienione wyżej kraty

Krata dualna[edytuj]

Redukt jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do . Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem”[edytuj]

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty do sygnatury , w której spełnione są równości:

oraz ,

gdzie element nazywa się spodem lub zerem kraty .

Krata z „jedynką”[edytuj]

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty do sygnatury , w której spełnione są równości:

oraz ,

gdzie element nazywa się szczytem lub jedynką kraty .

Krata ograniczona[edytuj]

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty do sygnatury , że jest kratą z zerem, a jest kratą z jedynką.

Krata komplementarna[edytuj]

 Zobacz też: algebra Boole'a.

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury , w której spełnione są równości:

oraz ,

gdzie nazywa się uzupełnieniem elementu .

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole'a.

Redukt jest także algebrą Boole'a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry .

Krata implikacyjna[edytuj]

Relacja zdefiniowana wzorem

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje są tożsame z operacjami infimumsupremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

.

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty do sygnatury , w której zachodzi:

,

gdzie element nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu względem .

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

dla dowolnego .

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra Heytinga[edytuj]

 Osobny artykuł: algebra Heytinga.

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej do sygnatury , której redukt jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

,

gdzie dla .

Uwaga 
Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole'a:
Przykład algebry Heytinga, która nie jest algebrą Boole'a

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b А. Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
  3. Wojciech Guzicki: Wykłady ze wstępu do matematyki. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2012, s. 164, 165. ISBN 978-83-01-14415-9.