Algebra ogólna

Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna)– obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną) .

Definicje

Definicja 1

Niech ${\mathfrak {F}}$${\mathfrak {F}}$ będzie zbiorem i niech $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}_{0}$$\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}_{0}$.

Algebrą sygnatury $\varsigma \,$$\varsigma \,$ jest para ${\mathcal {A}}=\langle A,{\mathcal {J}}\rangle$${\mathcal {A}}=\langle A,{\mathcal {J}}\rangle$, gdzie $A\,$$A\,$ jest zbiorem (zwykle niepustym), a ${\mathcal {J}}$${\mathcal {J}}$ jest funkcją, która elementowi ${\mathfrak {f}}$${\mathfrak {f}}$ zbioru ${\mathfrak {F}}$${\mathfrak {F}}$ przyporządkowuje $\varsigma ({\mathfrak {f}})$$\varsigma ({\mathfrak {f}})$-argumentowe działanie ${\mathcal {J}}({\mathfrak {f}})$${\mathcal {J}}({\mathfrak {f}})$ w zbiorze $A\,$$A\,$. Zbiór $A\,$$A\,$ nazywamy uniwersum algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$, funkcję ${\mathcal {J}}$${\mathcal {J}}$ interpretacją zbioru ${\mathfrak {F}}$${\mathfrak {F}}$ w algebrze ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$.

Dla danej algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$, jej uniwersum oznacza się zazwyczaj jako $|{\mathcal {A}}|$$|{\mathcal {A}}|$. Także zamiast pisać ${\mathcal {J}}({\mathfrak {f}})$${\mathcal {J}}({\mathfrak {f}})$ pisze się ${\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})$${\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})$ albo ${\mathfrak {f}}^{\mathcal {A}}$${\mathfrak {f}}^{{{\mathcal {A}}}}$.

Definicja 2

Algebrą nazywamy zbiór G, na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór $\Omega$$\Omega$ operacji n-arnych.

Zbiór symboli operacji $\Omega$$\Omega$, dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja $\omega \in \Omega$$\omega \in \Omega$ jest n-arna, to używa się zapisu $\omega \in \Omega _{n}$$\omega \in \Omega _{n}$.

Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt - algebrę $\omega$$\omega$. W pierwszej definicji zbiór ${\mathfrak {F}}$${\mathfrak {F}}$ jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, ${\mathcal {J}}$${\mathcal {J}}$ jest funkcją przypisującą nazwie operację n-arną algebry, a funkcja $\varsigma$$\varsigma$ przypisuje nazwie operacji jej arność.

Definicja 3

Algebrą (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

$\mathbf {A} =(A,a_{1},a_{2},...,a_{m},f_{1},f_{2},...,f_{n})$${\mathbf {A}}=(A,a_{{1}},a_{{2}},...,a_{{m}},f_{{1}},f_{{2}},...,f_{{n}})$

gdzie $A$$A$ jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry), elementy $a_{1},a_{2},...,a_{m}$$a_{{1}},a_{{2}},...,a_{{m}}$ są pewnymi elementami zbioru $A$$A$ (nazywanymi elementami wyróżnionymi), a $f_{1},f_{2},...,f_{n}$$f_{{1}},f_{{2}},...,f_{{n}}$ są działaniami określonymi w zbiorze $A$$A$, przy czym $f_{i}$$f_{{i}}$ jest działaniem $k_{i}$$k_{{i}}$ - argumentowym, tzn. $f_{i}:A^{k_{i}}\to A$$f_{{i}}:A^{{k_{{i}}}}\to A$ oraz $k_{i}>0$$k_{{i}}>0$. Dwie algebry:

$\mathbf {A} =(A,a_{1},a_{2},...,a_{m},f_{1},f_{2},...,f_{n})$${\mathbf {A}}=(A,a_{{1}},a_{{2}},...,a_{{m}},f_{{1}},f_{{2}},...,f_{{n}})$

i

$\mathbf {B} =(B,b_{1},b_{2},...,b_{r},g_{1},g_{2},...,g_{s})$${\mathbf {B}}=(B,b_{{1}},b_{{2}},...,b_{{r}},g_{{1}},g_{{2}},...,g_{{s}})$

nazywamy algebrami podobnymi ( lub algebrami tego samego typu) jeśli $m=r$$m=r$ oraz $n=s$$n=s$ , oraz dla każdego $i\in \{1,2,...,n\}$$i\in \{1,2,...,n\}$ działania $f_{i}$$f_{{i}}$ oraz $g_{i}$$g_{{i}}$ są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. $f_{i}:A^{k_{i}}\to A$$f_{{i}}:A^{{k_{{i}}}}\to A$ oraz $g_{i}:B^{k_{i}}\to B$$g_{{i}}:B^{{k_{{i}}}}\to B$ .

Przykłady algebr

1. Algebra Peano arytmetyki liczb naturalnych,  ${\mathfrak {N}}\,$${\mathfrak {N}}\,$.

   $\varsigma _{\mathbf {PA} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {P} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&2&0&0\end{array}}\right\rangle$$\varsigma _{{\mathbf {PA}}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c}{\mathbf {A}}&{\mathbf {M}}&{\mathbf {P}}&{\mathbf {O}}&{\mathbf {I}}\\\hline 2&2&2&0&0\end{array}}\right\rangle$,

   ${\mathfrak {N}}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b\,,\;{\mathfrak {N}}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cdot b\,,\;$${\mathfrak {N}}({\mathbf {A}})(a,b)=a+b\,,\;{\mathfrak {N}}({\mathbf {M}})(a,b)=a\cdot b\,,\;$

   ${\mathfrak {N}}(\mathbf {P} )(a,b)=a^{b}\,,\;\,a,b\in \mathbb {N} _{0}$${\mathfrak {N}}({\mathbf {P}})(a,b)=a^{b}\,,\;\,a,b\in {\mathbb {N}}_{0}$ oraz ${\mathfrak {N}}(\mathbf {O} )=0\,,\;{\mathfrak {N}}(\mathbf {I} )=1$${\mathfrak {N}}({\mathbf {O}})=0\,,\;{\mathfrak {N}}({\mathbf {I}})=1$

2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, ${\mathfrak {N}}^{(+)}\,$${\mathfrak {N}}^{{(+)}}\,$.

   $\varsigma _{\mathbf {Pr} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&0&0\end{array}}\right\rangle$$\varsigma _{{\mathbf {Pr}}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c}{\mathbf {A}}&{\mathbf {O}}&{\mathbf {I}}\\\hline 2&0&0\end{array}}\right\rangle$,

   ${\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b\,,\;\,a,b\in \mathbb {N} _{0}\quad {\mbox{oraz}}\quad {\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {O} )=0\,,\;{\mathfrak {N}}^{(+)}(\mathbf {I} )=1.$${\mathfrak {N}}^{{(+)}}({\mathbf {A}})(a,b)=a+b\,,\;\,a,b\in {\mathbb {N}}_{0}\quad {\mbox{oraz}}\quad {\mathfrak {N}}^{{(+)}}({\mathbf {O}})=0\,,\;{\mathfrak {N}}^{{(+)}}({\mathbf {I}})=1.$

3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia,  ${\mathfrak {N}}^{(\bullet )}\,$${\mathfrak {N}}^{{(\bullet )}}\,$.

   $\varsigma _{\mathbf {Ceg} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {M} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&0&0\end{array}}\right\rangle$$\varsigma _{{\mathbf {Ceg}}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c}{\mathbf {M}}&{\mathbf {O}}&{\mathbf {I}}\\\hline 2&0&0\end{array}}\right\rangle$,

   ${\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {A} )(a,b)=a\cdot b\,,\;\,a,b\in \mathbb {N} _{0}\quad {\mbox{oraz}}\quad {\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {O} )=0\,,\;{\mathfrak {N}}^{(\bullet )}(\mathbf {I} )=1.$${\mathfrak {N}}^{{(\bullet )}}({\mathbf {A}})(a,b)=a\cdot b\,,\;\,a,b\in {\mathbb {N}}_{0}\quad {\mbox{oraz}}\quad {\mathfrak {N}}^{{(\bullet )}}({\mathbf {O}})=0\,,\;{\mathfrak {N}}^{{(\bullet )}}({\mathbf {I}})=1.$

4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych,  ${\mathfrak {Z}}\,$${\mathfrak {Z}}\,$.

   $\varsigma _{\mathfrak {Z}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {Sb} &\mathbf {N} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&2&1&0&0\end{array}}\right\rangle$$\varsigma _{{\mathfrak {Z}}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c}{\mathbf {A}}&{\mathbf {M}}&{\mathbf {Sb}}&{\mathbf {N}}&{\mathbf {O}}&{\mathbf {I}}\\\hline 2&2&2&1&0&0\end{array}}\right\rangle$

   ${\mathfrak {Z}}(\mathbf {A} )(a,b)=a+b\,,\;{\mathfrak {Z}}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cdot b\,,\;{\mathfrak {Z}}(\mathbf {Sb} )(a,b)=a-b\,,\;a,b\in \mathbb {Z} ,$${\mathfrak {Z}}({\mathbf {A}})(a,b)=a+b\,,\;{\mathfrak {Z}}({\mathbf {M}})(a,b)=a\cdot b\,,\;{\mathfrak {Z}}({\mathbf {Sb}})(a,b)=a-b\,,\;a,b\in {\mathbb {Z}},$

   ${\mathfrak {Z}}(\mathbf {N} )(a)=-a\,,\;\;a\in \mathbb {Z}$${\mathfrak {Z}}({\mathbf {N}})(a)=-a\,,\;\;a\in {\mathbb {Z}}$ oraz ${\mathfrak {Z}}(\mathbf {O} )=0\,,\;{\mathfrak {Z}}(\mathbf {I} )=1.$${\mathfrak {Z}}({\mathbf {O}})=0\,,\;{\mathfrak {Z}}({\mathbf {I}})=1.$

5. Algebra podzbiorów zbioru $X\,$$X\,$,  ${\mathfrak {P}}_{(X)}\,$${\mathfrak {P}}_{{(X)}}\,$.

   $\varsigma _{\mathbf {BA} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c}\mathbf {J} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&1&0&0\end{array}}\right\rangle \,$$\varsigma _{{\mathbf {BA}}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c|c}{\mathbf {J}}&{\mathbf {M}}&{\mathbf {N}}&{\mathbf {O}}&{\mathbf {I}}\\\hline 2&2&1&0&0\end{array}}\right\rangle \,$,

   ${\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {J} )(a,b)=a\cup b\,,\;{\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {M} )(a,b)=a\cap b\,,\;\;a,b\in \wp (X)\,,\;$${\mathfrak {P}}_{{(X)}}({\mathbf {J}})(a,b)=a\cup b\,,\;{\mathfrak {P}}_{{(X)}}({\mathbf {M}})(a,b)=a\cap b\,,\;\;a,b\in \wp (X)\,,\;$

   ${\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {N} )(a)=X\setminus a\,,\;\;a\in \wp (X)\,,$${\mathfrak {P}}_{{(X)}}({\mathbf {N}})(a)=X\setminus a\,,\;\;a\in \wp (X)\,,$ oraz ${\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {O} )=\emptyset \;\,,\;{\mathfrak {P}}_{(X)}(\mathbf {I} )=X.$${\mathfrak {P}}_{{(X)}}({\mathbf {O}})=\emptyset \;\,,\;{\mathfrak {P}}_{{(X)}}({\mathbf {I}})=X.$

6. Krata podzielności w $\mathbb {N} \,$${\mathbb {N}}\,$,  ${\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}\,$${\mathfrak {D}}_{{({\mathbb {N}})}}\,$.

   $\varsigma _{\mathbf {B\cdot Lat} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {J} &\mathbf {M} &\mathbf {O} &\mathbf {I} \\\hline 2&2&0&0\end{array}}\right\rangle \,$$\varsigma _{{{\mathbf {B\cdot Lat}}}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}{\mathbf {J}}&{\mathbf {M}}&{\mathbf {O}}&{\mathbf {I}}\\\hline 2&2&0&0\end{array}}\right\rangle \,$,

   ${\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {J} )(a,b)=\mathbf {nwd} \{a,b\}\,,\;{\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {M} )(a,b)=\mathbf {nww} ({a,b})\,,\;\;a,b\in \mathbb {N} \,\;$${\mathfrak {D}}_{{({\mathbb {N}})}}({\mathbf {J}})(a,b)={\mathbf {nwd}}\{a,b\}\,,\;{\mathfrak {D}}_{{({\mathbb {N}})}}({\mathbf {M}})(a,b)={\mathbf {nww}}({a,b})\,,\;\;a,b\in {\mathbb {N}}\,\;$ (zob. nww, nwd)
   oraz ${\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {O} )=1\;\,,\;{\mathfrak {D}}_{(\mathbb {N} )}(\mathbf {I} )=0.$${\mathfrak {D}}_{{({\mathbb {N}})}}({\mathbf {O}})=1\;\,,\;{\mathfrak {D}}_{{({\mathbb {N}})}}({\mathbf {I}})=0.$

Redukty i wzbogacenia

Niech ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}$$\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}$ i niech ${\mathfrak {F}}_{0}\subseteq {\mathfrak {F}}$${\mathfrak {F}}_{0}\subseteq {\mathfrak {F}}$.

Reduktem prostym algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ do ${\mathfrak {F}}_{0}$${\mathfrak {F}}_{0}$ nazywamy algebrę ${\mathcal {A}}|_{\mathfrak {F_{0}}}=\langle A,{\mathcal {J}}|_{\mathfrak {F_{0}}}\rangle$${\mathcal {A}}|_{{\mathfrak {F_{0}}}}=\langle A,{\mathcal {J}}|_{{\mathfrak {F_{0}}}}\rangle$.

Przykłady

• ${\mathfrak {N}}^{(+)}$${\mathfrak {N}}^{{(+)}}$ i ${\mathfrak {N}}^{(\bullet )}$${\mathfrak {N}}^{{(\bullet )}}$ są reduktami prostymi ${\mathfrak {N}}$${\mathfrak {N}}$
• Algebrę ${\mathfrak {P}}_{(X)}|_{\{\mathbf {J} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {P}}_{{(X)}}|_{{\{{\mathbf {J}},{\mathbf {M}}\}}}$ nazywamy kratą podzbiorów zbioru $X\,$$X\,$.

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni, czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieproste

Niech ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma :{\mathfrak {F}}\to \mathbb {N}$$\varsigma :{\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}$ i niech $\pi \colon {\mathfrak {F}}_{0}\to {\mathfrak {F}}$$\pi \colon {\mathfrak {F}}_{0}\to {\mathfrak {F}}$ będzie różnowartościowe. Reduktem nieprostym algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ do $\pi$$\pi$ nazywamy algebrę ${\mathcal {A}}|_{\pi }$${\mathcal {A}}|_{{\pi }}$ sygnatury $\varsigma \circ \pi$$\varsigma \circ \pi$, której uniwersum jest $|{\mathcal {A}}|$$|{\mathcal {A}}|$ i w której

${\mathfrak {f}}^{({\mathcal {A}}|_{\pi })}={\mathcal {A}}{\big (}\pi ({\mathfrak {f}}){\big )}\quad ,\qquad f\in {\mathfrak {F}}_{0}$${\mathfrak {f}}^{{({\mathcal {A}}|_{{\pi }})}}={\mathcal {A}}{\big (}\pi ({\mathfrak {f}}){\big )}\quad ,\qquad f\in {\mathfrak {F}}_{0}$

Algebra ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ jest wzbogaceniem (prostym) algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$, jeśli ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ jest reduktem (prostym) algebry ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$.

Przykłady

Pierścień to taka algebra ${\mathcal {R}}$${\mathcal {R}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {ring} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \\\hline 2&2&1&0\end{array}}\right\rangle$$\varsigma _{{\mathbf {ring}}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}{\mathbf {A}}&{\mathbf {M}}&{\mathbf {N}}&{\mathbf {Z}}\\\hline 2&2&1&0\end{array}}\right\rangle$, że redukt ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}}$${\mathcal {R}}|_{{\{{\mathbf {A}}/{\mathbf {M}},{\mathbf {N}},{\mathbf {Z}}/{\mathbf {E}}\}}}$ jest grupą przemienną, a ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} \}}$${\mathcal {R}}|_{{\{{\mathbf {M}}\}}}$ jest półgrupą oraz spełnione są równości:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad {\mbox{i}}\quad (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\qquad ,\quad x,y,z\in |{\mathcal {R}}|.$$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\quad {\mbox{i}}\quad (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\qquad ,\quad x,y,z\in |{\mathcal {R}}|.$

gdzie

$x+y=\mathbf {A} ^{\mathcal {R}}(x,y)\,,\;x\cdot y=\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}(x,y)\,,\;-x=\mathbf {N} ^{\mathcal {R}}(x)\,,\;0=\mathbf {Z} ^{\mathcal {R}}\,,\qquad x,y\in |{\mathcal {R}}|.$$x+y={\mathbf {A}}^{{{\mathcal {R}}}}(x,y)\,,\;x\cdot y={\mathbf {M}}^{{{\mathcal {R}}}}(x,y)\,,\;-x={\mathbf {N}}^{{{\mathcal {R}}}}(x)\,,\;0={\mathbf {Z}}^{{{\mathcal {R}}}}\,,\qquad x,y\in |{\mathcal {R}}|.$

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której $\{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}$$\{{\mathbf {A}}/{\mathbf {M}},{\mathbf {N}},{\mathbf {Z}}/{\mathbf {E}}\}$ jest innym zapisem funkcji $\pi =\left\langle {\begin{array}{c|c|c}\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {E} \\\hline \mathbf {A} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \end{array}}\right\rangle$$\pi =\left\langle {\begin{array}{c|c|c}{\mathbf {M}}&{\mathbf {N}}&{\mathbf {E}}\\\hline {\mathbf {A}}&{\mathbf {N}}&{\mathbf {Z}}\end{array}}\right\rangle$

Ciało to taka algebra ${\mathcal {F}}$$\mathcal{F}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {field} }=\varsigma _{\mathbf {ring} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1,\mathbf {J} \mapsto 0\}$$\varsigma _{{\mathbf {field}}}=\varsigma _{{\mathbf {ring}}}\cup \{{\mathbf {R}}\mapsto 1,{\mathbf {J}}\mapsto 0\}$, że ${\mathcal {F}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}$${\mathcal {F}}|_{{\{{\mathbf {A}},{\mathbf {M}},{\mathbf {N}},{\mathbf {Z}}\}}}$ jest pierścieniem, a ${\mathcal {F}}|_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {R} /\mathbf {N} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}$${\mathcal {F}}|_{{\{{\mathbf {M}},{\mathbf {R}}/{\mathbf {N}},{\mathbf {J}}/{\mathbf {E}}\}}}$ jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

$1=\mathbf {A} ^{\mathcal {F}}(x,y)\,,\;x^{-1}=\mathbf {R} ^{\mathcal {F}}(x)\,,\qquad x\in |{\mathcal {F}}|.$$1={\mathbf {A}}^{{{\mathcal {F}}}}(x,y)\,,\;x^{{-1}}={\mathbf {R}}^{{{\mathcal {F}}}}(x)\,,\qquad x\in |{\mathcal {F}}|.$

Podalgebry

Algebra ${\mathcal {C}}$${\mathcal {C}}$ jest podalgebrą algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$, jeśli

1. $|{\mathcal {C}}|\subseteq |{\mathcal {A}}|$$|{\mathcal {C}}|\subseteq |{\mathcal {A}}|$       oraz       
2. ${\mathcal {C}}({\mathfrak {f}})={\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})|_{{\big (}|{\mathcal {C}}|{\big )}^{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\;,{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}$${\mathcal {C}}({\mathfrak {f}})={\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})|_{{{\big (}|{\mathcal {C}}|{\big )}^{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}}}\;,{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}$.

Uwaga 1

Niech ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ będzie algebrą. Na to, aby $C\subseteq |{\mathcal {A}}|$$C\subseteq |{\mathcal {A}}|$ było uniwersum podalgebry algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ potrzeba i wystarcza, aby $\qquad {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})|_{{\big (}|{\mathcal {C}}|{\big )}^{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\subseteq |C|\;,\qquad {\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}$$\qquad {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})|_{{{\big (}|{\mathcal {C}}|{\big )}^{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}}}\subseteq |C|\;,\qquad {\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}$

Uwaga 2

Niech ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ będzie algebrą i niech $C\subseteq |{\mathcal {A}}|$$C\subseteq |{\mathcal {A}}|$. Wówczas wśród podalgebr algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$, których uniwersum zawiera $C\,$$C\,$ istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez $C\,$$C\,$ i oznacza się ${\mathcal {A}}[C]$${\mathcal {A}}[C]$ albo $\langle C\rangle _{\mathcal {A}}$$\langle C\rangle _{{{\mathcal A}}}$.

Przykłady

1. Algebra ${\mathfrak {N}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}$${\mathfrak {N}}|_{{\{{\mathbf {A}},{\mathbf {M}},{\mathbf {O}},{\mathbf {I}}\}}}$ jest podalgebrą algebry ${\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}$${\mathfrak {Z}}|_{{\{{\mathbf {A}},{\mathbf {M}},{\mathbf {O}},{\mathbf {I}}\}}}$.
2. Podalgebrą algebry ${\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}$${\mathfrak {Z}}|_{{\{{\mathbf {A}},{\mathbf {M}},{\mathbf {O}},{\mathbf {I}}\}}}$ generowaną przez $\{1\}\,$$\{1\}\,$ jest ${\mathfrak {N}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {O} ,\mathbf {I} \}}$${\mathfrak {N}}|_{{\{{\mathbf {A}},{\mathbf {M}},{\mathbf {O}},{\mathbf {I}}\}}}$
3. Podalgebrą algebry ${\mathfrak {Z}}$${\mathfrak {Z}}$ generowaną przez $\{1\}\,$$\{1\}\,$ jest ${\mathfrak {Z}}$${\mathfrak {Z}}$
4. Uniwersum podalgebry algebry ${\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {Z}}|_{{\{{\mathbf {M}}\}}}$ generowanej przez $\{-1\}\,$$\{-1\}\,$ jest $\{-1,1\}\,$$\{-1,1\}\,$
5. Podalgebrą algebry ${\mathfrak {Z}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {Z}}|_{{\{{\mathbf {A}},{\mathbf {M}}\}}}$ generowanej przez $\{-1\}\,$$\{-1\}\,$ jest ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {A}},{\mathbf {M}}\}}}$

Homomorfizmy

Niech ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ i ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ będą algebrami tej samej sygnatury $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}_{0}$$\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}_{0}$.
Funkcję $h\colon |{\mathcal {A}}|\to |{\mathcal {B}}|$$h\colon |{\mathcal {A}}|\to |{\mathcal {B}}|$ jest homomorfizmem algebr ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ i ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$, jeśli

${\mathcal {B}}({\mathfrak {f}}){\big (}h(a_{1}),\ldots ,h(a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}){\big )}=h{\big (}{\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}){\big )}\quad ,\qquad a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.$${\mathcal {B}}({\mathfrak {f}}){\big (}h(a_{1}),\ldots ,h(a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}){\big )}=h{\big (}{\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}){\big )}\quad ,\qquad a_{1},\ldots ,a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.$

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ do ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ oznaczamy $\mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$${\mathbf {hom}}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$.

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ do ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ oznaczamy $\mathbf {mon} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$${\mathbf {mon}}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$.

Homomorfizm "na" nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ do ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ oznaczamy $\mathbf {epi} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$${\mathbf {epi}}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$.

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ do ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ oznaczamy $\mathbf {iso} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$${\mathbf {iso}}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$.

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ oznaczamy $\mathbf {endo} ({\mathcal {A}})$${\mathbf {endo}}({\mathcal {A}})$. Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ oznaczamy $\mathbf {aut} ({\mathcal {A}})$${\mathbf {aut}}({\mathcal {A}})$.

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.

Zauważmy, że algebra ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ jest podalgebrą algebry ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf {id} _{|{\mathcal {A}}|}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$${\mathbf {id}}_{{|{\mathcal {A}}|}}\in {\mathbf {hom}}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$.

Jeśli $h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$$h\in {\mathbf {hom}}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$, to podalgebrę algebry ${\mathcal {B}}$${\mathcal {B}}$ wyznaczoną przez $h{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {A}}|$$h{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {A}}|$ nazywamy obrazem homomorfizmu $h$$h$ i oznaczamy $\mathbf {im} (h)$${\mathbf {im}}(h)$.

Przykłady

1. Odwzorowanie $\mathbb {N} \ni x\mapsto 2x\in \mathbb {Z}$${\mathbb {N}}\ni x\mapsto 2x\in {\mathbb {Z}}$ jest w  $\mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}})$${\mathbf {hom}}({\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {A}}\}}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {A}}\}}})$,
   ale nie jest ani w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}})$${\mathbf {hom}}({\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {I}},{\mathbf {A}}\}}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {I}},{\mathbf {A}}\}}})$, ani w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {M} ,\mathbf {A} \}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {M} ,\mathbf {A} \}})$${\mathbf {hom}}({\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {M}},{\mathbf {A}}\}}}\,,\,{\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {M}},{\mathbf {A}}\}}})$.
2. Odwzorowanie $\mathbb {Z} \ni x\mapsto |x|\in \mathbb {N}$${\mathbb {Z}}\ni x\mapsto |x|\in {\mathbb {N}}$ jest w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {M} \}}\,,\,{\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {M} \}})$${\mathbf {hom}}({\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {I}},{\mathbf {M}}\}}}\,,\,{\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {I}},{\mathbf {M}}\}}})$, ale nie jest w $\mathbf {hom} ({\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}}\,,\,{\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} \}})$${\mathbf {hom}}({\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {I}},{\mathbf {A}}\}}}\,,\,{\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {I}},{\mathbf {A}}\}}})$.
3. Jedynym homomorfizmem ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {A}},{\mathbf {M}}\}}}$ w ${\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {A}},{\mathbf {M}}\}}}$ jest $h\equiv 0$$h\equiv 0$.
4. Jedynymi homomorfizmami ${\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {A}},{\mathbf {M}}\}}}$ w ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {A}},{\mathbf {M}}\}}}$ są $h\equiv 0$$h\equiv 0$ i $h\equiv \mathbf {id} _{\mathbb {N} }$$h\equiv {\mathbf {id}}_{{\mathbb {N}}}$.
5. Jedynym homomorfizmem ${\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {I}},{\mathbf {A}},{\mathbf {M}}\}}}$ w ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {I} ,\mathbf {A} ,\mathbf {M} \}}$${\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {I}},{\mathbf {A}},{\mathbf {M}}\}}}$ jest $h\equiv \mathbf {id} _{\mathbb {N} }$$h\equiv {\mathbf {id}}_{{\mathbb {N}}}$.
6. Jedynymi homomorfizmami ${\mathfrak {N}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}$${\mathfrak {N}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {A}}\}}}$ i ${\mathfrak {Z}}_{\{\mathbf {O} ,\mathbf {A} \}}$${\mathfrak {Z}}_{{\{{\mathbf {O}},{\mathbf {A}}\}}}$ są postaci $\mathbb {N} \ni x\mapsto k\cdot x\in \mathbb {Z}$${\mathbb {N}}\ni x\mapsto k\cdot x\in {\mathbb {Z}}$, dla pewnego $k\in \mathbb {Z}$$k\in {\mathbb {Z}}$.

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry

Niech ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}_{0}$$\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}_{0}$.
Relacja równoważności $\approx$$\approx$ w $|{\mathcal {A}}|$$|{\mathcal {A}}|$ jest kongruencją algebry, gdy

$a_{1}\approx b_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\approx b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\quad \Rightarrow \quad {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})})\approx {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(b_{1},\ldots ,b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})})$$a_{1}\approx b_{1},\ldots ,a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\approx b_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\quad \Rightarrow \quad {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}})\approx {\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(b_{1},\ldots ,b_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}})$,

$a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\,,\;b_{1},\ldots ,b_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.$$a_{1},\ldots ,a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\,,\;b_{1},\ldots ,b_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}.$

Przykład

Niech $h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$$h\in {\mathbf {hom}}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ i niech

$a\approx _{h}b\quad \Leftrightarrow \quad h(a)=h(b)\qquad ,\quad \qquad a,b\in |{\mathcal {A}}|$$a\approx _{h}b\quad \Leftrightarrow \quad h(a)=h(b)\qquad ,\quad \qquad a,b\in |{\mathcal {A}}|$

Wówczas $\approx _{h}$$\approx _{h}$ jest kongruencją algebry ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$.

Algebra ilorazowa

Niech ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ będzie algebrą sygnatury $\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}_{0}$$\varsigma \colon {\mathfrak {F}}\to {\mathbb {N}}_{0}$ i niech $\approx$$\approx$ będzie kongruencją w ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$.
Algebrą ilorazową ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ przez $\approx$$\approx$ jest algebra ${\mathcal {A}}/\!_{\approx }$${\mathcal {A}}/\!_{{\approx }}$, której uniwersum jest zbiór ilorazowy $|{\mathcal {A}}|/\!_{\approx }$$|{\mathcal {A}}|/\!_{{\approx }}$ i w której:

$\left({\mathcal {A}}\!/\!_{\approx }\right)({\mathfrak {f}})(a_{1}/\!_{\approx },\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}/\!_{\approx })=\left({\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})})\right)\!\!/\!_{\approx }\quad ,\qquad a_{1},\ldots ,a_{\varsigma ({\mathfrak {f}})}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}$$\left({\mathcal {A}}\!/\!_{{\approx }}\right)({\mathfrak {f}})(a_{1}/\!_{{\approx }},\ldots ,a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}/\!_{{\approx }})=\left({\mathcal {A}}({\mathfrak {f}})(a_{1},\ldots ,a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}})\right)\!\!/\!_{{\approx }}\quad ,\qquad a_{1},\ldots ,a_{{\varsigma ({\mathfrak {f}})}}\in |{\mathcal {A}}|\;,\;{\mathfrak {f}}\in {\mathfrak {F}}$

Przyporządkowanie $|{\mathcal {A}}|\ni a\mapsto a\!/\!_{\approx }\in |{\mathcal {A}}|/\!_{\approx }$$|{\mathcal {A}}|\ni a\mapsto a\!/\!_{{\approx }}\in |{\mathcal {A}}|/\!_{{\approx }}$ nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem $\kappa _{\approx }$$\kappa _{\approx }$. Jest ono homomorfizmem algebr ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$  i  ${\mathcal {A}}/\!_{\approx }$${\mathcal {A}}/\!_{{\approx }}$.

Zasadnicze twierdzenie algebry

Niech $h\in \mathbf {hom} ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$$h\in {\mathbf {hom}}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$, wówczas ${\mathcal {A}}\!/\!_{\approx _{h}}$${\mathcal {A}}\!/\!_{{\approx _{h}}}$ i $\mathbf {im} (h)$${\mathbf {im}}(h)$ są izomorficzne.

Szczególne algebry

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

Zbiór

Zbiór to algebra ${\mathcal {S}}$${\mathcal {S}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {set} }=\varnothing$$\varsigma _{{\mathbf {set}}}=\varnothing$.

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktem

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra ${\mathcal {S}}$${\mathcal {S}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {set\bullet } }=\{\mathbf {P} \mapsto 0\}$$\varsigma _{{\mathbf {set\bullet }}}=\{{\mathbf P}\mapsto 0\}$, gdzie element $\mathbf {P} ^{\mathcal {S}}$${\mathbf {P}}^{{\mathcal {S}}}$ nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry ${\mathcal {S}}$${\mathcal {S}}$.

Element ten oznacza się niekiedy symbolem $\bullet$$\bullet$. Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym $0$$0$).

Algebra unarna

Algebra unarna to algebra ${\mathcal {U}}$${\mathcal {U}}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {unalg} }=\{\mathbf {R} \mapsto 1\}$$\varsigma _{{\mathbf {unalg}}}=\{{\mathbf R}\mapsto 1\}$, gdzie $\mathbf {R} ^{\mathcal {A}}(x)$${\mathbf R}^{{\mathcal A}}(x)$ może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. $\sim \!x$$\sim \!x$, $\neg x$$\neg x$, czy $-x$$-x$ w notacji prefiksowej, $x'$$x'$, $x^{-1}$$x^{{-1}}$ w notacji postfiksowej, czy też ${\overline {x}}$$\overline {x}$ z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.

Grupoid

Grupoid to algebra ${\mathcal {A}}$${\mathcal A}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {grpd} }=\{\mathbf {M} \mapsto 2\}$$\varsigma _{{\mathbf {grpd}}}=\{{\mathbf M}\mapsto 2\}$, czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.

Zamiast ${\mathcal {A}}(\mathbf {M} )(x,y)$${\mathcal A}({\mathbf M})(x,y)$ zwykle pisze się $x\cdot y$$x\cdot y$ lub nawet $xy$$xy$ (tzw. notacja multyplikatywna) lub $x+y$$x+y$ (tzw. notacja addytywna), gdzie $x,y\in |{\mathcal {A}}|$$x,y\in |{\mathcal A}|$.

W notacji multyplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Quasi-grupa

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu ${\mathcal {A}}$${\mathcal A}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {qgrp} }=\varsigma _{\mathbf {grpd} }\cup \{\mathbf {D_{l}} \mapsto 2,\mathbf {D_{r}} \mapsto 2\}$$\varsigma _{{\mathbf {qgrp}}}=\varsigma _{{\mathbf {grpd}}}\cup \{{\mathbf {D_{l}}}\mapsto 2,{\mathbf {D_{r}}}\mapsto 2\}$, w którym spełnione są równości:

$x\cdot (x\backslash y)=y,\;x\backslash (x\cdot y)=y,\;(x/y)\cdot y=x,\;(x\cdot y)/y=x$$x\cdot (x\backslash y)=y,\;x\backslash (x\cdot y)=y,\;(x/y)\cdot y=x,\;(x\cdot y)/y=x$,

gdzie

$x\backslash y:={\mathcal {A}}(\mathbf {D_{l}} )(x,y),\;x/y:={\mathcal {A}}(\mathbf {D_{r}} )(x,y)$$x\backslash y:={\mathcal A}({\mathbf {D_{l}}})(x,y),\;x/y:={\mathcal A}({\mathbf {D_{r}}})(x,y)$, gdzie $x,y\in |{\mathcal {A}}|$$x,y\in |{\mathcal A}|$.

Działania „$/$$/$” i „$\backslash$$\backslash$” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

Lupa

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy ${\mathcal {A}}$${\mathcal A}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {qgrp} }\cup \{\mathbf {E} \mapsto 0\}$$\varsigma _{{\mathbf {qgrp}}}\cup \{{\mathbf E}\mapsto 0\}$, które spełnia równości

$x\cdot \mathbf {e} =\mathbf {e} \cdot x=x,\;x\in |{\mathcal {A}}|$$x\cdot {\mathbf e}={\mathbf e}\cdot x=x,\;x\in |{\mathcal A}|$,

gdzie $\mathbf {e} ={\mathcal {A}}(\mathbf {E} )$${\mathbf e}={\mathcal A}({\mathbf E})$.

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

Półgrupa

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.

Monoid

Monoid to wzbogacenie półgrupy ${\mathcal {A}}$${\mathcal A}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {mon} }=\varsigma _{\mathbf {grpd} }\cup \{\mathbf {E} \mapsto 0\}$$\varsigma _{{\mathbf {mon}}}=\varsigma _{{\mathbf {grpd}}}\cup \{{\mathbf E}\mapsto 0\}$, które spełnia równości

$x\cdot \mathbf {e} =\mathbf {e} \cdot x=x,\;x\in |{\mathcal {A}}|$$x\cdot {\mathbf e}={\mathbf e}\cdot x=x,\;x\in |{\mathcal A}|$,

gdzie $\mathbf {e} ={\mathcal {A}}(\mathbf {E} )$${\mathbf e}={\mathcal A}({\mathbf E})$ w notacji multyplikatywnej, często też $1={\mathcal {A}}(\mathbf {E} )$$1={\mathcal A}({\mathbf E})$. W notacji addytywnej zamiast ${\mathcal {A}}(\mathbf {E} )$${\mathcal A}({\mathbf E})$ pisze się zwykle $0$$0$.

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

Grupa

Grupa jest wzbogaceniem monoidu ${\mathcal {A}}$${\mathcal A}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {mon} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1\}$$\varsigma _{{\mathbf {mon}}}\cup \{{\mathbf R}\mapsto 1\}$, które spełnia równości

$x\cdot {\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)={\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)\cdot x=\mathbf {e}$$x\cdot {\mathcal A}({\mathbf R})(x)={\mathcal A}({\mathbf R})(x)\cdot x={\mathbf e}$ dla $x\in |{\mathcal {A}}|$$x\in |{\mathcal A}|$.

Standardowym oznaczeniem ${\mathcal {A}}(\mathbf {R} )(x)$${\mathcal A}({\mathbf R})(x)$ jest $x^{-1}$$x^{{-1}}$, niekiedy również $x^{\prime }$$x^{\prime }$, w notacji multyplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do $x$$x$. W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem $-x$$-x$ i nazywa elementem przeciwnym do $x$$x$.

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.

Pierścień

Pierścień to algebra ${\mathcal {R}}$${\mathcal R}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {ring} }=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {A} &\mathbf {M} &\mathbf {N} &\mathbf {Z} \\\hline 2&2&1&0\end{array}}\right\rangle$$\varsigma _{{\mathbf {ring}}}=\left\langle {\begin{array}{c|c|c|c}{\mathbf A}&{\mathbf M}&{\mathbf N}&{\mathbf Z}\\\hline 2&2&1&0\end{array}}\right\rangle$, dla której redukt ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {M} ,\mathbf {N} /\mathbf {R} ,\mathbf {Z} /\mathbf {E} \}}$${\mathcal R}|_{{\{{\mathbf A}/{\mathbf M},{\mathbf N}/{\mathbf R},{\mathbf Z}/{\mathbf E}\}}}$ jest grupą przemienną, a ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} \}}$${\mathcal R}|_{{\{{\mathbf M}\}}}$ jest półgrupą oraz spełnione są równości:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ i $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ dla $x,y,z\in |{\mathcal {R}}|$$x,y,z\in |{\mathcal R}|$,

gdzie

$x+y=\mathbf {A} ^{\mathcal {R}}(x,y)$$x+y={\mathbf A}^{{{\mathcal R}}}(x,y)$,

$x\cdot y=\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}(x,y)$$x\cdot y={\mathbf M}^{{{\mathcal R}}}(x,y)$,

$-x=\mathbf {N} ^{\mathcal {R}}(x)$$-x={\mathbf N}^{{{\mathcal R}}}(x)$,

$0=\mathbf {Z} ^{\mathcal {R}}$$0={\mathbf Z}^{{{\mathcal R}}}$

dla $x,y\in |{\mathcal {R}}|$$x,y\in |{\mathcal R}|$.

Działanie $\mathbf {A} ^{\mathcal {R}}$${\mathbf A}^{{\mathcal R}}$ nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie $\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}$${\mathbf M}^{{\mathcal R}}$ jego mnożeniem.

Uwaga

W dowolnym pierścieniu zachodzi $0\cdot x=x\cdot 0=0$$0\cdot x=x\cdot 0=0$.

Ponieważ $0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x$$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x$, to $0\cdot x=0$$0\cdot x=0$. Podobnie $x\cdot 0=0$$x\cdot 0=0$.

Pierścień, w którym działanie $\mathbf {M} ^{\mathcal {R}}$${\mathbf M}^{{\mathcal R}}$ jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką to algebra ${\mathcal {R}}$${\mathcal R}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {ring1} }=\varsigma _{\mathbf {ring} }\cup \{\mathbf {J} \mapsto 0\}$$\varsigma _{{\mathbf {ring1}}}=\varsigma _{{\mathbf {ring}}}\cup \{{\mathbf J}\mapsto 0\}$, że ${\mathcal {R}}_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}$${\mathcal R}_{{\{{\mathbf A},{\mathbf M},{\mathbf N},{\mathbf Z}\}}}$ jest pierścieniem, a ${\mathcal {R}}_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}$${\mathcal R}_{{\{{\mathbf M},{\mathbf J}/{\mathbf E}\}}}$ jest monoidem.

Element $\mathbf {J} ^{\mathcal {R}}$${\mathbf J}^{{\mathcal R}}$ nazywamy jedynką pierścienia ${\mathcal {R}}$${\mathcal R}$. Oznaczamy go zazwyczaj symbolem $1$$1$.

Pierścień z dzieleniem

Pierścień z dzieleniem to algebra ${\mathcal {R}}$${\mathcal R}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {ring1} }\cup \{\mathbf {R} \mapsto 1\}$$\varsigma _{{\mathbf {ring1}}}\cup \{{\mathbf R}\mapsto 1\}$, że ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {M} ,\mathbf {N} ,\mathbf {Z} \}}$${\mathcal R}|_{{\{{\mathbf A},{\mathbf M},{\mathbf N},{\mathbf Z}\}}}$ jest pierścieniem, a  ${\mathcal {R}}|_{\{\mathbf {M} ,\mathbf {R} ,\mathbf {J} /\mathbf {E} \}}$${\mathcal R}|_{{\{{\mathbf M},{\mathbf R},{\mathbf J}/{\mathbf E}\}}}$ jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

$x^{-1}=\mathbf {R} ^{\mathcal {R}}(x)$$x^{{-1}}={\mathbf R}^{{{\mathcal R}}}(x)$, gdzie $x\in |{\mathcal {R}}|$$x\in |{\mathcal R}|$.

Ciało

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

Krata

Kratą nazywamy algebrę ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$ sygnatury $\varsigma _{\mathbf {latt} }=\{\mathbf {A} \mapsto 2,\mathbf {K} \mapsto 2\}$$\varsigma _{{\mathbf {latt}}}=\{{\mathbf A}\mapsto 2,{\mathbf K}\mapsto 2\}$, w której spełnione są równości:

$x\sqcap y=y\sqcap x,\quad x\sqcap (y\sqcap z)=(x\sqcap y)\sqcap z,\quad x\sqcap (x\sqcup y)=x$$x\sqcap y=y\sqcap x,\quad x\sqcap (y\sqcap z)=(x\sqcap y)\sqcap z,\quad x\sqcap (x\sqcup y)=x$,

$x\sqcup y=y\sqcup x,\quad x\sqcup (y\sqcup z)=(x\sqcup y)\sqcup z,\quad x\sqcup (x\sqcap y)=x$$x\sqcup y=y\sqcup x,\quad x\sqcup (y\sqcup z)=(x\sqcup y)\sqcup z,\quad x\sqcup (x\sqcap y)=x$,

gdzie użyto oznaczeń

$x\sqcup y={\mathcal {K}}(\mathbf {A} )(x,y)$$x\sqcup y={\mathcal K}({\mathbf A})(x,y)$

oraz

$x\sqcap y={\mathcal {K}}(\mathbf {K} )(x,y)$$x\sqcap y={\mathcal K}({\mathbf K})(x,y)$.

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

$x\sqcap (y\sqcup z)=(x\sqcap y)\sqcup (x\sqcap z)$$x\sqcap (y\sqcup z)=(x\sqcap y)\sqcup (x\sqcap z)$

bądź

$x\sqcup (y\sqcap z)=(x\sqcup y)\sqcap (x\sqcup z)$$x\sqcup (y\sqcap z)=(x\sqcup y)\sqcap (x\sqcup z)$.

Innym warunkiem, tak koniecznym jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

$(x\sqcap y)\sqcup (y\sqcap z)\sqcup (y\sqcap z)=(x\sqcup y)\sqcap (y\sqcup z)\sqcap (y\sqcup z)$$(x\sqcap y)\sqcup (y\sqcap z)\sqcup (y\sqcap z)=(x\sqcup y)\sqcap (y\sqcup z)\sqcap (y\sqcup z)$, gdzie $x,y,z\in |{\mathcal {K}}|$$x,y,z\in |{\mathcal K}|$.

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty są rozdzielne:

Krata dualna

Redukt ${\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }={\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {K} ,\mathbf {K} /\mathbf {A} \}}$${\mathcal K}^{{\mathbf {d}}}={\mathcal K}|_{{\{{\mathbf {A}}/{\mathbf {K}},{\mathbf {K}}/{\mathbf {A}}\}}}$ jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$. Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem”

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {latt\_0} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0\}$$\varsigma _{{\mathbf {latt\_0}}}=\varsigma _{{\mathbf {latt}}}\cup \{{\mathbf O}\mapsto 0\}$, w której spełnione są równości:

$x\sqcap \bot =\bot$$x\sqcap \bot =\bot$ oraz $x\sqcup \bot =x$$x\sqcup \bot =x$,

gdzie element $\bot ={\mathcal {K}}(\mathbf {O} )$$\bot ={\mathcal K}({\mathbf O})$ nazywa się spodem lub zerem kraty ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$.

Krata z „jedynką”

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {latt\_1} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {I} \mapsto 0\}$$\varsigma _{{\mathbf {latt\_1}}}=\varsigma _{{\mathbf {latt}}}\cup \{{\mathbf I}\mapsto 0\}$, w której spełnione są równości:

$x\sqcap \top =x$$x\sqcap \top =x$ oraz $x\sqcup \top =\top$$x\sqcup \top =\top$,

gdzie element $\top ={\mathcal {K}}(\mathbf {I} )$$\top ={\mathcal K}({\mathbf I})$ nazywa się szczytem lub jedynką kraty ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$.

Krata ograniczona

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {latt\_01} }=\varsigma _{\mathbf {latt} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0,\mathbf {I} \mapsto 0\}$$\varsigma _{{\mathbf {latt\_01}}}=\varsigma _{{\mathbf {latt}}}\cup \{{\mathbf O}\mapsto 0,{\mathbf I}\mapsto 0\}$, że ${\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {O} \}}$${\mathcal K}|_{{\{{\mathbf A},{\mathbf K},{\mathbf O}\}}}$ jest kratą z zerem, a ${\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {I} \}}$${\mathcal K}|_{{\{{\mathbf A},{\mathbf K},{\mathbf I}\}}}$ jest kratą z jedynką.

Krata komplementarna

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {lcmpl} }=\varsigma _{\mathbf {latt\_01} }\cup \{\mathbf {N} \mapsto 1\}$$\varsigma _{{\mathbf {lcmpl}}}=\varsigma _{{\mathbf {latt\_01}}}\cup \{{\mathbf N}\mapsto 1\}$, w której spełnione są równości:

$x\sqcap \neg x=\bot$$x\sqcap \neg x=\bot$ oraz $x\sqcup \neg x=\top$$x\sqcup \neg x=\top$,

gdzie $\neg x={\mathcal {K}}(\mathbf {N} )(x)$$\neg x={\mathcal K}({\mathbf N})(x)$ nazywa się uzupełnieniem elementu $x$$x$ w ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$.

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole'a.

Redukt ${\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }={\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} /\mathbf {K} ,\mathbf {K} /\mathbf {A} ,\mathbf {N} ,\mathbf {O} /\mathbf {I} ,\mathbf {I} /\mathbf {O} \}}$${\mathcal K}^{{\mathbf {d}}}={\mathcal K}|_{{\{{\mathbf {A}}/{\mathbf {K}},{\mathbf {K}}/{\mathbf {A}},{\mathbf {N}},{\mathbf {O}}/{\mathbf {I}},{\mathbf {I}}/{\mathbf {O}}\}}}$ jest także algebrą Boole'a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$.

Krata implikacyjna

Relacja $\leqslant$$\leqslant$ zdefiniowana wzorem

$x\leqslant y\Leftrightarrow x\sqcap y=x$$x\leqslant y\Leftrightarrow x\sqcap y=x$

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje $\sqcap$$\sqcap$ i $\sqcup$$\sqcup$ są tożsame z operacjami infimum i supremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

$x\leqslant y\Leftrightarrow x\sqcup y=y$$x\leqslant y\Leftrightarrow x\sqcup y=y$.

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {limpl} }=\varsigma _{\mathbf {latt\_1} }\cup \{\mathbf {C} \mapsto 2\}$$\varsigma _{{\mathbf {limpl}}}=\varsigma _{{\mathbf {latt\_1}}}\cup \{{\mathbf {C}}\mapsto 2\}$, w której zachodzi:

$x\sqcap z\leqslant y\Leftrightarrow z\leqslant x\to y$$x\sqcap z\leqslant y\Leftrightarrow z\leqslant x\to y$,

gdzie element $x\to y={\mathcal {K}}(\mathbf {C} )(x,y)$$x\to y={\mathcal K}({\mathbf {C}})(x,y)$ nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu $x$$x$ względem $y$$y$.

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

$x\to x=\top$$x\to x=\top$ dla dowolnego $x\in |{\mathcal {K}}|$$x\in |{\mathcal K}|$.

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra Heytinga

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej ${\mathcal {K}}$${\mathcal K}$ do sygnatury $\varsigma _{\mathbf {LH} }=\varsigma _{\mathbf {limpl} }\cup \{\mathbf {O} \mapsto 0,\mathbf {N} \mapsto 1\}$$\varsigma _{{\mathbf {LH}}}=\varsigma _{{\mathbf {limpl}}}\cup \{{\mathbf O}\mapsto 0,{\mathbf N}\mapsto 1\}$, której redukt ${\mathcal {K}}|_{\{\mathbf {A} ,\mathbf {K} ,\mathbf {O} \}}$${\mathcal K}|_{{\{{\mathbf A},{\mathbf K},{\mathbf O}\}}}$ jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

$\neg x=x\to \bot$$\neg x=x\to \bot$,

gdzie $\neg x=\mathbf {N} ^{\mathcal {K}}(x)$$\neg x={\mathbf {N}}^{{\mathcal {K}}}(x)$ dla $x\in |{\mathcal {K}}|$$x\in |{\mathcal K}|$.

Uwaga 

Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole'a:

Zobacz też

• Algebra nad ciałem