Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna) – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2].
Szczególnie ważną klasę algebr stanowią algebry równościowo definiowalne[3].
Niech
będzie zbiorem i niech
Algebrą sygnatury
jest para
gdzie
jest zbiorem (zwykle niepustym), a
jest funkcją, która elementowi
zbioru
przyporządkowuje
-argumentowe działanie
w zbiorze
Zbiór
nazywamy uniwersum algebry
funkcję
interpretacją zbioru
w algebrze
Dla danej algebry
jej uniwersum oznacza się zazwyczaj jako
Tak, że zamiast pisać
pisze się
albo
Algebrą[1] nazywamy zbiór
na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór
operacji
-arnych.
Zbiór symboli operacji
dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja
jest
-arna, to używa się zapisu
Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt – algebrę
W pierwszej definicji zbiór
jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry,
jest funkcją przypisującą nazwie operację
-arną algebry, a funkcja
przypisuje nazwie operacji jej arność.
Algebrą[4] (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

gdzie:
jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry),
są pewnymi elementami zbioru
(nazywanymi elementami wyróżnionymi),
są działaniami określonymi w zbiorze
przy czym
jest działaniem
-argumentowym, tzn.
oraz 
Dwie algebry:

i

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli
oraz
oraz dla każdego
działania
oraz
są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn.
oraz
1. Algebra Peana arytmetyki liczb naturalnych,





2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania,



3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia,



4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych,






5. Algebra podzbiorów zbioru
,





6. Krata podzielności w
,

(zob. nww, nwd)


Niech
będzie algebrą sygnatury
i niech
Reduktem prostym algebry
do
nazywamy algebrę
Algebra
jest wzbogaceniem (prostym) algebry
jeśli
jest reduktem (prostym) algebry
i
są reduktami prostymi 
- Algebrę
nazywamy kratą podzbiorów zbioru 
W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:
Niech
będzie algebrą sygnatury
i niech
będzie różnowartościowe.
Reduktem nieprostym algebry
do
nazywamy algebrę
sygnatury
której uniwersum jest
i w której

Pierścień to taka algebra
sygnatury
że redukt
jest grupą przemienną, a
jest półgrupą oraz spełnione są równości:

gdzie:

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której
jest innym zapisem funkcji
Ciało to taka algebra
sygnatury
że
jest pierścieniem, a
jest grupą.
Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

Algebra
jest podalgebrą algebry
jeśli
oraz

- Uwaga 1
Niech
będzie algebrą. Na to, aby
było uniwersum podalgebry algebry
potrzeba i wystarcza, aby
- Uwaga 2
Niech
będzie algebrą i niech
Wówczas wśród podalgebr algebry
których uniwersum zawiera
istnieje algebra najmniejsza.
Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez
i oznacza się
albo
- Algebra
jest podalgebrą algebry 
- Podalgebrą algebry
generowaną przez
jest 
- Podalgebrą algebry
generowaną przez
jest 
- Uniwersum podalgebry algebry
generowanej przez
jest 
- Podalgebrą algebry
generowanej przez
jest 
Niech
i
będą algebrami tej samej sygnatury
Funkcja
jest homomorfizmem algebr
i
jeśli

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z
do
oznaczamy
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem.
Rodzinę wszystkich monomorfizmów z
do
oznaczamy
Homomorfizm „na” nazywamy epimorfizmem.
Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z
do
oznaczamy
Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm.
Rodzinę wszystkich izomorfizmów z
do
oznaczamy
Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.
Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry
oznaczamy
Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry
oznaczamy
Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.
Zauważmy, że algebra
jest podalgebrą algebry
wtedy i tylko wtedy, gdy
Jeśli
to podalgebrę algebry
wyznaczoną przez
nazywamy obrazem homomorfizmu
i oznaczamy
- Odwzorowanie
jest w 
ale nie jest ani w
ani w 
- Odwzorowanie
jest w
ale nie jest w 
- Jedynym homomorfizmem
w
jest 
- Jedynymi homomorfizmami
w
są
i 
- Jedynym homomorfizmem
w
jest 
- Jedynymi homomorfizmami
i
są postaci
dla pewnego 
Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry[edytuj | edytuj kod]
Niech
będzie algebrą sygnatury
Relacja równoważności
w
jest kongruencją algebry, gdy


Niech
i niech

Wówczas
jest kongruencją algebry
Niech
będzie algebrą sygnatury
i niech
będzie kongruencją w
Algebrą ilorazową
przez
jest algebra
której uniwersum jest zbiór ilorazowy
i w której:

Przyporządkowanie
nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem
Jest ono homomorfizmem algebr
i
Zasadnicze twierdzenie algebry[edytuj | edytuj kod]
Niech
wówczas
i
są izomorficzne.
W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.
Osobny artykuł: zbiór.
Zbiór to algebra
sygnatury
Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.
Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra
sygnatury
gdzie element
nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry
Element ten oznacza się niekiedy symbolem
Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym
).
Algebra unarna to algebra
sygnatury
gdzie
może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np.
czy
w notacji prefiksowej,
w notacji postfiksowej, czy też
z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.
Osobny artykuł: grupoid.
Grupoid to algebra
sygnatury
czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.
Zamiast
zwykle pisze się
lub nawet
(tzw. notacja multiplikatywna) lub
(tzw. notacja addytywna), gdzie
W notacji multiplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.
Osobny artykuł: quasi-grupa.
Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu
do sygnatury
w którym spełnione są równości:

gdzie:
gdzie 
Działania „
” i „
” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.
Zobacz też: pętla.
Pętla to wzbogacenie quasi-grupy
do sygnatury
które spełnia równości

gdzie
Innymi słowy, pętla to quasi-grupa z elementem neutralnym mnożenia.
Osobny artykuł: półgrupa.
Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.
Osobny artykuł: monoid.
Monoid to wzbogacenie półgrupy
do sygnatury
które spełnia równości

gdzie
w notacji multiplikatywnej, często też
W notacji addytywnej zamiast
pisze się zwykle
Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.
Grupa jest wzbogaceniem monoidu
do sygnatury
które spełnia równości
dla 
Standardowym oznaczeniem
jest
niekiedy również
w notacji multiplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do
W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem
i nazywa elementem przeciwnym do
Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.
Pierścień to algebra
sygnatury
dla której redukt
jest grupą przemienną, a
jest półgrupą oraz spełnione są równości:
i
dla 
gdzie:




dla
Działanie
nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie
jego mnożeniem.
- Uwaga
- W dowolnym pierścieniu zachodzi

- Ponieważ
to
Podobnie 
Pierścień, w którym działanie
jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.
Pierścień z jedynką to algebra
sygnatury
że
jest pierścieniem, a
jest monoidem.
Element
nazywamy jedynką pierścienia
Oznaczamy go zazwyczaj symbolem
Pierścień z dzieleniem to algebra
sygnatury
że
jest pierścieniem, a
jest grupą.
Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:
gdzie 
Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.
Kratą nazywamy algebrę
sygnatury
w której spełnione są równości:


gdzie użyto oznaczeń

oraz

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

bądź

Innym warunkiem, tak koniecznym, jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:
gdzie 
Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty są rozdzielne:

Redukt
jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do
Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.
Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty
do sygnatury
w której spełnione są równości:
oraz 
gdzie element
nazywa się spodem lub zerem kraty
Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty
do sygnatury
w której spełnione są równości:
oraz 
gdzie element
nazywa się szczytem lub jedynką kraty
Krata ograniczona to wzbogacenie kraty
do sygnatury
że
jest kratą z zerem, a
jest kratą z jedynką.
Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury
w której spełnione są równości:
oraz 
gdzie
nazywa się uzupełnieniem elementu
w
Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole’a.
Redukt
jest także algebrą Boole’a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry
Relacja
zdefiniowana wzorem

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje
i
są tożsame z operacjami infimum i supremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty
do sygnatury
w której zachodzi:

gdzie element
nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu
względem
W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:
dla dowolnego 
Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.
Osobny artykuł: algebra Heytinga.
Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej
do sygnatury
której redukt
jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

gdzie
dla
- Uwaga
- Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole’a:

- ↑ a b А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
- ↑ Л.А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
- ↑ Algebrom tym poświęcone są: rozdz. XIV, § 7 w książce: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968 oraz § 5.5 w książce: Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
- ↑ Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2012, s. 164, 165. ISBN 978-83-01-14415-9.