Algebra ogólna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra ogólna (algebra uniwersalna lub abstrakcyjna) – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej (zwanej też algebrą ogólną)[1][2].

Definicje[edytuj]

Definicja 1[edytuj]

Niech będzie zbiorem i niech

Algebrą sygnatury jest para gdzie jest zbiorem (zwykle niepustym), a jest funkcją, która elementowi zbioru przyporządkowuje -argumentowe działanie w zbiorze Zbiór nazywamy uniwersum algebry funkcję interpretacją zbioru w algebrze

Dla danej algebry jej uniwersum oznacza się zazwyczaj jako Także zamiast pisać pisze się albo

Definicja 2[edytuj]

Algebrą[1] nazywamy zbiór G, na którym określony jest skończony lub nieskończony zbiór operacji n-arnych.

Zbiór symboli operacji dla których wskazane są ich arności nazywa się sygnaturą algebry. Jeżeli operacja jest n-arna, to używa się zapisu

Powyższe dwie definicje opisują ten sam obiekt – algebrę W pierwszej definicji zbiór jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, jest funkcją przypisującą nazwie operację n-arną algebry, a funkcja przypisuje nazwie operacji jej arność.

Definicja 3[edytuj]

Algebrą[3] (lub algebrą ogólną) nazywamy skończony ciąg postaci:

gdzie jest niepustym zbiorem zwanym nośnikiem (albo uniwersum algebry), elementy są pewnymi elementami zbioru (nazywanymi elementami wyróżnionymi), a są działaniami określonymi w zbiorze przy czym jest działaniem – argumentowym, tzn. oraz

Dwie algebry:

i

nazywamy algebrami podobnymi (lub algebrami tego samego typu) jeśli oraz oraz dla każdego działania oraz są działaniami o tej samej liczbie argumentów, tzn. oraz

Przykłady algebr[edytuj]

  1. Algebra Peana arytmetyki liczb naturalnych, :
    oraz
  2. Algebra Presburgera arytmetyki samego dodawania, :
  3. Algebra Cegielskiego arytmetyki samego mnożenia, :
  4. Algebra arytmetyki liczb całkowitych, :
    oraz
  5. Algebra podzbiorów zbioru , :
    oraz
  6. Krata podzielności w , :
    (zob. nww, nwd)
    oraz

Redukty i wzbogacenia[edytuj]

Niech będzie algebrą sygnatury i niech

Reduktem prostym algebry do nazywamy algebrę

Przykłady[edytuj]

  • i są reduktami prostymi
  • Algebrę nazywamy kratą podzbiorów zbioru

W niektórych wypadkach wprowadzone wyżej pojęcie reduktu prostego może być niewystarczające. Będzie tak np. w sytuacji, gdy na jednym uniwersum będziemy potrzebowali wprowadzić równolegle kilka struktur wzajemnie ze sobą powiązanych jak jest np. w przypadku pierścieni, czy ciał. Wtedy pomocnym okaże się następujące pojęcie reduktu nieprostego:

Redukty nieproste[edytuj]

Niech będzie algebrą sygnatury i niech będzie różnowartościowe.

Reduktem nieprostym algebry do nazywamy algebrę sygnatury której uniwersum jest i w której

Algebra jest wzbogaceniem (prostym) algebry jeśli jest reduktem (prostym) algebry

Przykłady[edytuj]

Pierścień to taka algebra sygnatury że redukt jest grupą przemienną, a jest półgrupą oraz spełnione są równości:

gdzie

Tutaj zastosowana jest konwencja notacyjna wedle której jest innym zapisem funkcji

Ciało to taka algebra sygnatury że jest pierścieniem, a jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się następujące oznaczenia:

Podalgebry[edytuj]

Algebra jest podalgebrą algebry jeśli

  1.        oraz
Uwaga 1

Niech będzie algebrą. Na to, aby było uniwersum podalgebry algebry potrzeba i wystarcza, aby

Uwaga 2

Niech będzie algebrą i niech Wówczas wśród podalgebr algebry których uniwersum zawiera istnieje algebra najmniejsza.

Algebrę tę nazywamy podalgebrą wyznaczoną przez i oznacza się albo

Przykłady[edytuj]

  1. Algebra jest podalgebrą algebry
  2. Podalgebrą algebry generowaną przez jest
  3. Podalgebrą algebry generowaną przez jest
  4. Uniwersum podalgebry algebry generowanej przez jest
  5. Podalgebrą algebry generowanej przez jest

Homomorfizmy[edytuj]

Niech i będą algebrami tej samej sygnatury
Funkcję jest homomorfizmem algebr i jeśli

Rodzinę wszystkich homomorfizmów z do oznaczamy

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem. Rodzinę wszystkich monomorfizmów z do oznaczamy

Homomorfizm „na” nazywamy epimorfizmem. Rodzinę wszystkich epoimorfizmów z do oznaczamy

Różnowartościowy epimorfizm, to izomorfizm. Rodzinę wszystkich izomorfizmów z do oznaczamy

Homomorfizmy algebry w siebie, to endomorfizmy. Izomorfizmy w siebie, to automorfizmy.

Rodzinę wszystkich endomorfizmów algebry oznaczamy Rodzinę wszystkich automorfizmów algebry oznaczamy

Rodzina automorfizmów algebry w siebie tworzy z działaniem składania odwzorowań grupę.

Zauważmy, że algebra jest podalgebrą algebry wtedy i tylko wtedy, gdy

Jeśli to podalgebrę algebry wyznaczoną przez nazywamy obrazem homomorfizmu i oznaczamy

Przykłady[edytuj]

  1. Odwzorowanie jest w
    ale nie jest ani w ani w
  2. Odwzorowanie jest w , ale nie jest w
  3. Jedynym homomorfizmem w jest
  4. Jedynymi homomorfizmami w i
  5. Jedynym homomorfizmem w jest
  6. Jedynymi homomorfizmami i są postaci dla pewnego

Kongruencje, zasadnicze twierdzenie algebry[edytuj]

Niech będzie algebrą sygnatury
Relacja równoważności w jest kongruencją algebry, gdy

Przykład[edytuj]

Niech i niech

Wówczas jest kongruencją algebry

Algebra ilorazowa[edytuj]

Niech będzie algebrą sygnatury i niech będzie kongruencją w

Algebrą ilorazową przez jest algebra której uniwersum jest zbiór ilorazowy i w której:

Przyporządkowanie nazywamy odwzorowaniem kanonicznym i oznaczamy je symbolem Jest ono homomorfizmem algebr   i  

Zasadnicze twierdzenie algebry[edytuj]

Niech wówczas i są izomorficzne.

Szczególne algebry[edytuj]

W poniższej sekcji opisano ważne z punktu widzenia matematyki algebry ogólne.

Zbiór[edytuj]

 Osobny artykuł: zbiór.

Zbiór to algebra sygnatury

Jest to przypadek zdegenerowany, z punktu widzenia algebry – nieistotny.

Zbiór z wyróżnionym punktem[edytuj]

 Osobny artykuł: zbiór z wyróżnionym punktem.

Zbiór z wyróżnionym punktem to algebra sygnatury gdzie element nazywa się elementem bądź punktem wyróżnionym algebry

Element ten oznacza się niekiedy symbolem Zazwyczaj jednak element wyróżniony oznacza się małą literą, która służy do oznaczania uniwersum algebry (czasem z indeksem dolnym ).

Algebra unarna[edytuj]

Algebra unarna to algebra sygnatury gdzie może mieć wiele różnych oznaczeń w zależności od zastosowań, np. czy w notacji prefiksowej, w notacji postfiksowej, czy też z wykorzystaniem znaków diakrytycznych.

Grupoid[edytuj]

 Osobny artykuł: grupoid.

Grupoid to algebra sygnatury , czyli inaczej mówiąc zbiór z działaniem dwuargumentowym.

Zamiast zwykle pisze się lub nawet (tzw. notacja multiplikatywna) lub (tzw. notacja addytywna), gdzie

W notacji multiplikatywnej działanie grupoidu nazywa się mnożeniem, a w notacji addytywnej – dodawaniem. Notacja addytywna używana jest zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Quasi-grupa[edytuj]

 Osobny artykuł: quasi-grupa.

Quasi-grupa to wzbogacenie grupoidu do sygnatury w którym spełnione są równości:

gdzie

gdzie

Działania „” i „” nazywa się odpowiednio dzieleniem prawo- i lewostronnym.

Lupa[edytuj]

 Zobacz też: quasi-grupa.

Lupa (pętla) to wzbogacenie quasigrupy do sygnatury które spełnia równości

gdzie

Innymi słowy, pętla to quasigrupa z elementem neutralnym mnożenia.

Półgrupa[edytuj]

 Osobny artykuł: półgrupa.

Półgrupa to grupoid z działaniem łącznym.

Monoid[edytuj]

 Osobny artykuł: monoid.

Monoid to wzbogacenie półgrupy do sygnatury które spełnia równości

gdzie w notacji multiplikatywnej, często też W notacji addytywnej zamiast pisze się zwykle

Monoid można określić jako półgrupę z elementem neutralnym działania tej półgrupy.

Grupa[edytuj]

 Osobny artykuł: grupa (matematyka).

Grupa jest wzbogaceniem monoidu do sygnatury które spełnia równości

dla

Standardowym oznaczeniem jest niekiedy również w notacji multiplikatywnej; element ten nazywa się wtedy elementem odwrotnym do W notacji addytywnej element ten oznacza się symbolem i nazywa elementem przeciwnym do

Grupa to, innymi słowy, monoid z operacją brania elementu odwrotnego/przeciwnego.

Pierścień[edytuj]

Pierścień to algebra sygnatury dla której redukt jest grupą przemienną, a jest półgrupą oraz spełnione są równości:

i dla

gdzie

dla

Działanie nazywamy dodawaniem pierścienia, a działanie jego mnożeniem.

Uwaga
W dowolnym pierścieniu zachodzi
Ponieważ to Podobnie

Pierścień, w którym działanie jest przemienne nazywa się pierścieniem przemiennym.

Pierścień z jedynką[edytuj]

 Osobny artykuł: pierścień z jedynką.

Pierścień z jedynką to algebra sygnatury że jest pierścieniem, a jest monoidem.

Element nazywamy jedynką pierścienia Oznaczamy go zazwyczaj symbolem

Pierścień z dzieleniem[edytuj]

 Osobny artykuł: pierścień z dzieleniem.

Pierścień z dzieleniem to algebra sygnatury że jest pierścieniem, a jest grupą.

Dla wygody przyjmuje się oznaczenie:

gdzie

Ciało[edytuj]

 Osobny artykuł: ciało (matematyka).

Ciało to pierścień z dzieleniem z przemiennym działaniem mnożenia.

Krata[edytuj]

 Osobny artykuł: krata (porządek).

Kratą nazywamy algebrę sygnatury w której spełnione są równości:

gdzie użyto oznaczeń

oraz

Krata rozdzielna to krata spełniająca co najmniej jedną z równości (pozostała równość wynika z przyjętej):

bądź

Innym warunkiem, tak koniecznym, jak i dostatecznym, na rozdzielność kraty jest zachodzenie równości:

gdzie

Krata jest nierozdzielna, gdy zawiera podkratę izomorficzną z jedną z poniższych krat:

Minimalne kraty nierozdzielne

Należy jednak być przezornym, niżej zaprezentowane kraty rozdzielne:

To są kraty rozdzielne, mimo iż wydaje się, że zawierają wymienione wyżej kraty

Krata dualna[edytuj]

Redukt jest także kratą. Kratę tę nazywamy kratą dualną do Krata dualna do kraty rozdzielnej jest kratą rozdzielną.

Krata z „zerem”[edytuj]

Krata z „zerem” to wzbogacenie kraty do sygnatury w której spełnione są równości:

oraz

gdzie element nazywa się spodem lub zerem kraty

Krata z „jedynką”[edytuj]

Krata z „jedynką” to wzbogacenie kraty do sygnatury w której spełnione są równości:

oraz

gdzie element nazywa się szczytem lub jedynką kraty

Krata ograniczona[edytuj]

Krata ograniczona to wzbogacenie kraty do sygnatury że jest kratą z zerem, a jest kratą z jedynką.

Krata komplementarna[edytuj]

 Zobacz też: algebra Boole’a.

Krata komplementarna to wzbogacenie kraty ograniczonej do sygnatury w której spełnione są równości:

oraz

gdzie nazywa się uzupełnieniem elementu w

Komplementarną kratę rozdzielną nazywa się algebrą Boole’a.

Redukt jest także algebrą Boole’a. Algebrę tę nazywamy dualizacją algebry

Krata implikacyjna[edytuj]

Relacja zdefiniowana wzorem

definiuje w każdej kracie porządek zwany porządkiem kratowym, w którym operacje i są tożsame z operacjami infimum i supremum. Równoważnie porządek ten można zadać wzorem

Krata implikacyjna to wzbogacenie kraty do sygnatury w której zachodzi:

gdzie element nosi nazwę relatywnego pseudouzupełnienia elementu względem

W kracie implikacyjnej zachodzi m.in. związek:

dla dowolnego

Każda krata implikacyjna jest rozdzielna.

Algebra Heytinga[edytuj]

 Osobny artykuł: algebra Heytinga.

Algebra Heytinga to wzbogacenie kraty implikacyjnej do sygnatury której redukt jest kratą z zerem i w której zachodzi równość:

gdzie dla

Uwaga
Algebra Heytinga zazwyczaj nie jest wzbogaceniem algebry Boole’a:
Przykład algebry Heytinga, która nie jest algebrą Boole’a

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Л.А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31, 32.
  3. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2012, s. 164, 165. ISBN 978-83-01-14415-9.