Nierówność Minkowskiego

Hermann Minkowski (1864–1909)

Nierówność Minkowskiego – zestaw nierówności autorstwa Hermanna Minkowskiego.

Wersja dla sum skończonych

$\left(\sum _{k=1}^{n}|s_{k}+t_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{n}|s_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|t_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},$

przy $p\geqslant 1$ dla dowolnych ciągów $(s_{k})_{k=1}^{n}$ i $(t_{k})_{k=1}^{n}$ w $K.$

Wersja dla szeregów

$\left(\sum _{k=1}^{\infty }|s_{k}+t_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|s_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{\infty }|t_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},$

przy $p\geqslant 1$ dla dowolnych ciągów nieskończonych $(s_{k})$ i $(t_{k})$ w $K$ takich, że szeregi $\sum _{k=1}^{\infty }|s_{k}|^{p}$ oraz $\sum _{k=1}^{\infty }|t_{k}|^{p}$ są zbieżne.

Wersja całkowa

$\left(\int \limits _{\Omega }|x(t)+y(t)|^{p}d{\mu }\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\int \limits _{\Omega }|x(t)|^{p}d{\mu }\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int \limits _{\Omega }|y(t)|^{p}d{\mu }\right)^{\frac {1}{p}},$

gdzie $p\geqslant 1,$ $\Omega \ \subset R^{n}$ – podzbiór mierzalny w sensie miary $\mu$ Lebesgue’a, zaś $x$ i $y$ – funkcje mierzalne takie, że całki

$\int \limits _{\Omega }|x(t)|^{p}d\mu$ i $\int \limits _{\Omega }|y(t)|^{p}d\mu$ są skończone.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Minkowski's Inequalities, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-05-28].
• Minkowski inequality (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].