Nierówność Muirheada – uogólnienie nierówności między średnimi potęgowymi. Nierówność Muirheada została udowodniona w 1903 roku, a jej uogólnienie w 2009[1].
Jeżeli
są liczbami nieujemnymi, takimi że:
![{\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \dots \geqslant a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b11aa9290cac21d034879819351dd699fe3ae49)
![{\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \dots \geqslant b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c697fc8078d797725810b3967b3866a305364d03)
dla ![{\displaystyle 1\leqslant k<n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24aed57c68acf7310a5fa20dd3510600d93f1b7)
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350eeb1d079ef7afeb5068f48612f743561ceb9e)
to mówimy, że ciąg
majoryzuje ciąg
i piszemy
Sformułowanie nierówności: jeżeli ciąg
majoryzuje ciąg
to dla nieujemnych liczb
![{\displaystyle \sum _{s\in S_{n}}x_{1}^{a_{s(1)}}x_{2}^{a_{s(2)}}\dots x_{n}^{a_{s(n)}}\geqslant \sum _{s\in S_{n}}x_{1}^{b_{s(1)}}x_{2}^{b_{s(2)}}\dots x_{n}^{b_{s(n)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9439a9d1792257d6c749e670bedf7555e3e99f55)
gdzie
oznacza sumę dla wszystkich permutacji
zbioru