Nierówność między średnimi potęgowymi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nierówność między średnimi potęgowymi (nierówność między średnimi uogólnionymi) – jedna z klasycznych nierówności mówiąca o własnościach średniej potęgowej. Jest ona uogólnieniem nierówności Cauchy’ego między średnimi, sama zaś jest uogólniana przez nierówność Muirheada.

Definicja i twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Średnią potęgową rzędu liczb definiuje się jako:

  • dla

Przykładowo, dla otrzymujemy średnią arytmetyczną, dla średnią geometryczną, dla średnią harmoniczną, dla średnią kwadratową.

Twierdzenie

Niech i niech dane będzie liczb (jeśli ograniczamy się do rzędów można przyjąć ).

Wówczas średnia potęgowa rzędu liczb jest nie większa od ich średniej potęgowej rzędu czyli

Ponadto równość w powyższym wyrażeniu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są wszystkie równe.

Wniosek

Dla dowolnych liczb dodatnich funkcja

jest funkcją niemalejącą. Więcej: można pokazać, że jest stała lub ściśle rosnąca.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Udowodnimy korzystając z powyższej nierówności, że

jeśli oraz to

W tym celu zauważmy, że na mocy nierówności między średnimi potęgowymi rzędów 1 oraz 3 mamy

co jest równoważne nierówności, którą mieliśmy udowodnić.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Na potrzeby wszystkich dowodów dla uproszczenia zakładamy, że wagi spełniają warunki:

Średnia geometryczna[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego nierówność między średnią rzędu i średnią geometryczną możemy przekształcić w następujący sposób:

(pierwsza nierówność jest prawdziwa dla druga w przeciwnym wypadku)

podnosimy obustronnie do potęgi :

i w obu przypadkach otrzymujemy nierówność między ważoną średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu którą możemy udowodnić przy użyciu nierówności Jensena, korzystając z wklęsłości funkcji logarytmicznej:

Po złożeniu obu stron nierówności z (rosnącą) funkcją wykładniczą uzyskuje się żądaną nierówność:

Stąd dla dowolnego dodatniego zachodzi:

tym samym udowodniliśmy nierówność między dowolną średnią potęgową a średnią geometryczną.

Średnia geometryczna jako granica[edytuj | edytuj kod]

Możemy ponadto udowodnić, że średnia geometryczna jest granicą średnich potęgowych dla rzędu dążącego do zera. W pierwszej kolejności udowodnimy granicę:

Granice licznika i mianownika są, odpowiednio, równe 0, więc z reguły de l’Hospitala wynika, iż:

Następnie korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

co kończy dowód.

Nierówność między dowolnymi średnimi potęgowymi[edytuj | edytuj kod]

Chcemy udowodnić, że dla dowolnych zachodzi:

w przypadku kiedy jest ujemne, a dodatnie, nierówność jest równoważna nierówności udowodnionej wcześniej:

Udowodnijmy zatem nierówność dla dodatnich i

Weźmy funkcję Oczywiście jest rosnąca, bo / jest dodatnie. Jest to funkcja potęgowa, ma zatem drugą pochodną: która jest zawsze dodatnia, bo > z czego wynika wypukłość

Z nierówności Jensena uzyskujemy wobec tego:

po wyciągnięciu obustronnie pierwiastka -tego stopnia (funkcja rosnąca, bo > 0) uzyskujemy żądaną nierówność dla dodatnich i :

Jeśli rozważamy rzędy ujemne, wówczas więc można podstawiając bez straty ogólności uzyskać:

Podnosimy obustronnie do potęgi -1 (funkcja malejąca):

A zatem dowiedliśmy nierówności także dla ujemnych i co kończy dowód.

Minimum i maksimum[edytuj | edytuj kod]

Minimum i maksimum przyjmuje się za średnie potęgowe rzędów Wynika to z faktu, że są to odpowiednie granice średnich potęgowych, dowód jest następujący:

Niech będzie największym, a najmniejszym z Na początek korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach udowodnimy granicę:

Wystarczy zauważyć nierówności dla dodatnich :

Następnie korzystając z udowodnionej granicy:

Stąd korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

Analogicznie dla ujemnych :

bo (wciąż dla ):

Stąd:

I w końcu analogicznie:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]