Pierścień ułamków

Pierścień ułamków – uogólnienie pojęcia ciała ułamków.

Konstrukcja ciała ułamków pierścienia całkowitego ${\mathfrak {R}}$ wymaga, by zbiór mianowników był określony jako ${\mathfrak {R}}\setminus \{0\}$. Konstrukcja pierścienia ułamków jest podobna, lecz zamiast zbioru mianowników ${\mathfrak {R}}\setminus \{0\}$ dopuszcza się dowolny podzbiór multyplikatywny ${\mathcal {S}}$.

Definiuje się relację równoważności w zbiorze ${\mathfrak {R}}\times {\mathcal {S}},$ gdzie ${\mathfrak {R}}$ jest dziedziną całkowitości, a ${\mathcal {S}}$ jej podzbiorem multyplikatywnym:

$(r_{1},s_{1})\wr (r_{2},s_{2})\Leftrightarrow r_{1}s_{2}=r_{2}s_{1}$.

Otrzymana w ten sposób struktura $({\mathfrak {R}}\times {\mathcal {S}})/_{\wr }$ (wraz z odpowiednimi działaniami, zdefiniowanymi analogicznie jak w konstrukcji ciała ułamków) jest dziedziną całkowitości, oznaczaną zazwyczaj symbolem ${\mathcal {S}}^{-1}{\mathfrak {R}}$ i nazywaną pierścieniem ułamków dziedziny ${\mathfrak {R}}$ względem podzbioru multyplikatywnego ${\mathcal {S}}$.

Istnieje zanurzenie pierścienia ${\mathfrak {R}}$ w ${\mathcal {S}}^{-1}{\mathfrak {R}},$ co umożliwia utożsamienie elementów pierścienia ${\mathfrak {R}}$ z odpowiednimi ułamkami pierścienia ułamków.

Dla każdej dziedziny całkowitości ${\mathfrak {R}}$ zbiór ${\mathfrak {R}}\setminus \{0\}$ jest podzbiorem multyplikatywnym, co sprowadza ten przypadek do pojęcia ciała ułamków.