Prosta pochyła

O prostej $p$ mówimy, że jest pochyłą do prostej $q,$ jeśli:

• $p$ jest różna od $q,$
• $p$ przecina $q,$
• $p$ nie jest prostopadła do $q.$

Definicja bardziej zwięzła:

Pochyłą do prostej $q$ nazywamy prostą $p$ przecinającą prostą $q$ pod kątem różnym od prostego

Można także definiować prostą pochyłą do płaszczyzny:

Pochyłą do płaszczyzny $\alpha$ nazywamy prostą $p$ przecinającą płaszczyznę $\alpha$ pod kątem różnym od prostego

Własności w geometrii euklidesowej

Geometria euklidesowa. Prosta $p$ pochyła do prostej $q$ i prosta prostopadła $r$ do prostej $q$ w geometrii euklidesowej.

• Jeśli prosta $p$ jest pochyła do prostej $q,$ a prosta $r$ jest prostopadła do prostej $q,$ to proste $p$ i $r$ przecinają się.

Punkt $C$ przecięcia prostych $p$ i $r$ znajduje się w odległości ${\frac {AB}{\cos \alpha }}$ od punktu $A$ przecięcia prostych $p$ i $q$ i w odległości $AB\operatorname {ctg} \alpha$ od punktu $B$ przecięcia prostych $q$ i $r.$

• Jeśli dwie pochyłe do prostej $p$ tworzą z tą prostą różne kąty ostre, to przecinają się.

Własności w geometrii hiperbolicznej

Geometria hiperboliczna. Prosta prostopadła $r$ do prostej $q$ równoległa do pochyłej $p.$

• Jeśli prosta $p$ jest pochyła do prostej $q,$ to istnieje taka prosta $r$ prostopadła do $q,$ która jest równoległa do $p$.

Dowód. Niech $A$ niech będzie punktem przeciecia prostych $p$ i $q,$ a $\alpha$ niech będzie kątem ostrym między nimi. Jeśli $B$ jest takim punktem prostej $q,$ że $\alpha =\Pi (AB),$ gdzie $\Pi (AB)$ jest kątem rówmnoległości odpowiadającym odcinkowi AB i kąt ostry między prostą $p$ i półprostą AB jest równy $\alpha .$ Wtedy prosta $r$ prostopadła do prostej $q$ przechodząca przez punkt $B$ jest równoległa do $p.$

• Z dowodu poprzedniej własności wynika, że istnieją proste prostopadłe do prostej $p,$ które nie są równoległe do pochyłej $q$ i nie przecinają jej. Własność tę ma prostopadła do $q$ przechodząca przez każdy punkt $C$ półprostej otwartej B\A Punkty takiej prostopadłej najpierw zbliżają się do pochyłej, do momentu, gdy obie proste mają wspólną prostopadłą, a następnie oddalają się od pochyłej i odległość ta dąży do nieskończoności.

Bibliografia

• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982. (ros.).brak strony w książce
• Иовлев Н.Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930. (ros.).brak strony w książce