Prostopadłość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
 Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrii elementarnej. Zobacz też: ortogonalność – uogólnienie pojęcia na przestrzenie unitarne.
Prosta \scriptstyle AB jest prostopadła do \scriptstyle CD w punkcie \scriptstyle B, ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90 stopni.

Prostopadłośćrelacja między dwiema prostymi, dwiema płaszczyznami lub prostą i płaszczyzną.

  • Dwie proste są prostopadłe, gdy tworzą przystające kąty przyległe[1].
  • Prosta a i płaszczyzna b są prostopadłe, gdy prosta a jest prostopadła do każdej prostej przecinającej prostą a i zawartej w płaszczyźnie b[2].
  • Dwie płaszczyzny a i b są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w płaszczyźnie a i prostopadła do płaszczyzny b[3].


Jeżeli dwie proste są prostopadłe, to kąt przez nie utworzony nazywa się kątem prostym. Jego miarą jest ½π radianów lub 90°.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Perpendicular-construction.svg

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej \scriptstyle AB w punkcie \scriptstyle P kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

  • krok 1: nakreślić okrąg o środku \scriptstyle P, w celu znalezienia na prostej \scriptstyle AB punktów \scriptstyle A' i \scriptstyle B' równoodległych od \scriptstyle P;
  • krok 2: nakreślić okręgi o środkach w \scriptstyle A' oraz \scriptstyle B', które przechodzącą przez \scriptstyle P; punkt \scriptstyle Q będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;
  • krok 3: połączyć \scriptstyle P oraz \scriptstyle Q, aby skonstruować szukaną prostopadłą \scriptstyle PQ.

Aby udowodnić, że \scriptstyle PQ rzeczywiście jest prostopadła do \scriptstyle AB wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów \scriptstyle QPA' oraz \scriptstyle QPB', które zapewnia o równości miar kątów \scriptstyle OPA' i \scriptstyle OPB'. Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów \scriptstyle OPA' oraz \scriptstyle OPB' otrzymuje się równość miar kątów \scriptstyle POA i \scriptstyle POB.

Związek z równoległością[edytuj | edytuj kod]

Proste \scriptstyle a i \scriptstyle b są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną \scriptstyle c.

W geometrii euklidesowej każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe. Podobnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej. Fakty te wynikają z postulatu równoległości.

Zilustrowano to na rys. obok. Jeżeli dwie proste (\scriptstyle a oraz \scriptstyle b) są obie prostopadłe do trzeciej prostej (\scriptstyle c), to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty są przystające; podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste \scriptstyle a oraz \scriptstyle b są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga pozostałe:

  • jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym;
  • jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono;
  • prosta \scriptstyle c jest prostopadła do prostej \scriptstyle a;
  • prosta \scriptstyle c jest prostopadła do prostej \scriptstyle b;

Geometria analityczna[edytuj | edytuj kod]

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste na płaszczyźnie \scriptstyle xy mogą być opisane równaniami

ax + by + e = 0 oraz cx + dy + f = 0.

Są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle ac + bd = 0.

Dla prostych nierównoległych do osi \scriptstyle y równania mogą przybrać postać:

y = ax + b oraz y = cx + d.

Wielkości \scriptstyle a oraz \scriptstyle c nazywa się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się wtedy do zależności \scriptstyle ac = -1.

Przypisy

  1. Karol Borsuk, Wanda Szmielew: Podstawy Geometrii. Wyd. III poprawione. Warszawa: PWN, 1972, s. 119. Definicja 59.1.D
  2. Borsuk, op. cit., s. 124 Definicja 64.1.D
  3. Borsuk, op. cit., s. 127 Definicja 65.1.D

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]