Prostopadłość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrii elementarnej. Zobacz też: ortogonalność – uogólnienie pojęcia na przestrzenie unitarne.
Prosta \scriptstyle AB jest prostopadła do \scriptstyle CD w punkcie \scriptstyle B, ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90 stopni.

Prostopadłośćrelacja między dwiema prostymi, dwiema płaszczyznami lub prostą i płaszczyzną.

  • Dwie proste są prostopadłe, gdy tworzą przystające kąty przyległe[1].
  • Prosta a i płaszczyzna b są prostopadłe, gdy prosta a jest prostopadła do każdej prostej przecinającej prostą a i zawartej w płaszczyźnie b[2].
  • Dwie płaszczyzny a i b są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w płaszczyźnie a i prostopadła do płaszczyzny b[3].


Jeżeli dwie proste są prostopadłe, to kąt przez nie utworzony nazywa się kątem prostym. Jego miarą jest ½π radianów lub 90°.

Twierdzenie o istnieniu prostej prostopadłej[edytuj]

Dla dowolnej prostej a i dowolnego punktu P istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt P i prostopadła do prostej a[4].

Konstrukcja[edytuj]

Perpendicular-construction.svg

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej \scriptstyle AB i przechodzącą przez punkt \scriptstyle P kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

  • krok 1: nakreślić okrąg o środku \scriptstyle P, w celu znalezienia na prostej \scriptstyle AB punktów \scriptstyle A' i \scriptstyle B' równoodległych od \scriptstyle P;
  • krok 2: nakreślić okręgi o środkach w \scriptstyle A' oraz \scriptstyle B', które przechodzącą przez \scriptstyle P; punkt \scriptstyle Q będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;
  • krok 3: połączyć \scriptstyle P oraz \scriptstyle Q, aby skonstruować szukaną prostopadłą \scriptstyle PQ.

Aby udowodnić, że \scriptstyle PQ rzeczywiście jest prostopadła do \scriptstyle AB wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów \scriptstyle QPA' oraz \scriptstyle QPB', które zapewnia o równości miar kątów \scriptstyle OPA' i \scriptstyle OPB'. Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów \scriptstyle OPA' oraz \scriptstyle OPB' otrzymuje się równość miar kątów \scriptstyle POA i \scriptstyle POB.

Związek z równoległością[edytuj]

Proste \scriptstyle a i \scriptstyle b są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną \scriptstyle c.

W geometrii euklidesowej każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe. Podobnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej.

Zilustrowano to na rys. obok. Jeżeli dwie proste (\scriptstyle a oraz \scriptstyle b) są obie prostopadłe do trzeciej prostej (\scriptstyle c), to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty są przystające; podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste \scriptstyle a oraz \scriptstyle b są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga pozostałe:

  • jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym;
  • jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono;
  • prosta \scriptstyle c jest prostopadła do prostej \scriptstyle a;
  • prosta \scriptstyle c jest prostopadła do prostej \scriptstyle b;

Geometria analityczna[edytuj]

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste na płaszczyźnie \scriptstyle xy mogą być opisane równaniami

ax + by + e = 0 oraz cx + dy + f = 0.

Są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle ac + bd = 0.

Dla prostych nierównoległych do osi \scriptstyle y równania mogą przybrać postać:

y = ax + b oraz y = cx + d.

Wielkości \scriptstyle a oraz \scriptstyle c nazywa się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się wtedy do zależności \scriptstyle ac = -1.

Prosta prostopadła do prostej o równaniu ax + by + e = 0 i przechodząca przez punkt (p,q) ma równanie:

b(x-p)=a(y-q)

Prostopadłość w przestrzeni[edytuj]

Dla dowolnej płaszczyzny a i dowolnego punktu b istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt b i prostopadła do płaszczyzny a[5].

Dla dowolnej prostej a i dowolnego punktu b istnieje dokładnie jedna płaszczyzna przechodząca przez punkt b i prostopadła do prostej a[6].

Dla dowolnych dwóch prostych skośnych istnieje dokładnie jedna prosta prostopadła do nich obu jednocześnie[7].


Przypisy

  1. Karol Borsuk, Wanda Szmielew: Podstawy Geometrii. Wyd. III poprawione. Warszawa: PWN, 1972, s. 119. Definicja 59.1.D
  2. Borsuk, op. cit., s. 124 Definicja 64.1.D
  3. Borsuk, op. cit., s. 127 Definicja 65.1.D
  4. Borsuk, op. cit., str. 119 Twierdzenie 59.2.T, 59.3.T
  5. Borsuk, op. cit., str. 126 Twierdzenie 64.4.T
  6. Borsuk, op. cit., str. 125 Twierdzenie 64.3.T
  7. Marek Kordos, Lesław W. Szczerba Geometria dla nauczycieli str. 221 Twierdzenie 2.14.T

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]