Punkty Brocarda

Punkt Brocarda trójkąta skonstruowany w punkcie przecięcia trzech okręgów

Punkty Brocarda – szczególne punkty w trójkącie.

Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie:

W trójkącie $ABC$ o bokach $a,b,c$ znajduje się dokładnie jeden taki punkt $P,$ że proste $AP,BP,CP$ z bokami odpowiednio $c,a,b$ tworzą równe kąty $\omega ,$ tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

$\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB.$

Punkt $P$ nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta $ABC.$ Kąt $\omega$ jest kątem Brocarda trójkąta $ABC.$

Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta $ABC{:}$ punkt $Q,$ dla którego odcinki $AQ,BQ,CQ,$ według tej kolejności, z bokami $b,c,a$ tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

$\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.$

Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ jest równy kątowi $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.$

Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta $ABC$! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta $ABC$ jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie $ACB.$

Konstrukcja

Przykład:

1. Obieramy trzy niewspółliniowe punkty $A,B,C.$
2. Kreślimy prostą $c$ przez punkty $A$ i $B,$ prostą, a przez punkty $B$ i $C$ oraz prostą $b$ przez punkty $C$ i $A.$
3. Kreślimy symetralną boku $AB$ i oznaczamy ją przez $c'.$
4. Kreślimy prostą $c''$ prostopadłą do prostej, a przez punkt $B.$
5. Punkt przecięcia się symetralnej $c'$ i prostej $c''$ oznaczamy $O_{1}.$
6. Z punktu $O^{1}$ kreślimy okrąg o promieniu $|O1\ B|.$ Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt $A$ i jest styczny do prostej $a.$
7. Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty $C$ i $B,$ styczny do prostej $b;$

a następnie okrąg przez punkty $A$ i $C,$ styczny do prostej $c.$

Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta $ABC.$

Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.

Równania kąta Brocarda

Oznaczmy przez $A_{\Delta }$ pole powierzchni trójkąta $ABC.$ Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:

• $\operatorname {tg} \omega ={\frac {4A_{\Delta }}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.$
• $\operatorname {ctg} \omega =\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta +\operatorname {ctg} \gamma .$
• $\sin \omega ={\frac {2A_{\Delta }}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}}$

Dla każdego trójkąta: $\omega \leqslant 30^{\circ }.$

Właściwości

• Oba punkty Brocarda trójkąta $ABC$ są ze sobą sprzężone izogonalnie.
• Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.

Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.