Rekurencyjna metoda NK

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wstęp i oznaczenia[edytuj]

Algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów (WRMNK) został wyprowadzony dla obiektu typu ARX, którego postać przytacza się dla wygody:

Zakłada się, że znany jest ciąg wejść obiektu oraz ciąg wyjść obiektu , natomiast sekwencja białego szumu, modelującego zakłócenie sprowadzone na wyjście obiektu , jest nieznana.

Niech oznacza wektor nieznanych parametrów obiektu:

Niech oznacza wektor zawierający oszacowania (estymaty) tych parametrów w chwili , oraz niech oznacza wektor zawierający próbki wejść i wyjść odpowiadające tym parametrom (zwany wektorem regresyjnym):

Niech ponadto wskaźnik jakości będzie dany jako:

,

gdzie zwany jest współczynnikiem ważenia lub zapominania, a zwany jest błędem predykcji jednokrokowej.

Algorytm WRMNK[edytuj]

Algorytmem, który minimalizuje tak zdefiniowany wskaźnik jakości, jest algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów, dany wzorem:

,

gdzie zwany jest wektorem wzmocnienia i liczony jest zgodnie z zależnością:

.

Użyta w powyższym wzorze macierz zwana jest macierzą kowariancji. Podstawową zależnością pozwalającą na rekurencyjne wyznaczania tej macierzy jest równanie:

.

Ponieważ jednak zastosowanie powyższego wzoru wiązałoby się z koniecznością odwracania macierzy, algorytm byłby niezwykle skomplikowany w implementacji i potencjalnie niestabilny numerycznie. Na szczęście udało się wyprowadzić zależność rekurencyjną pozwalającą na aktualizację macierzy kowariancji z pominięciem odwracania macierzy, która jest dana zależnością:

Warunek początkowy[edytuj]

Warunek początkowy dla macierzy kowariancji dany jest wzorem:

,

gdzie jest pewną, dużą wartością dodatnią (np. 1000).

Uwagi[edytuj]

W przypadku, gdy o metodzie mówi się, że jest bez ważenia (czyli jest to RMNK). Tak sparametryzowana metoda nie nadaje się do identyfikacji obiektów niestacjonarnych (czyli takich, których parametry zmieniają się w czasie), gdyż w macierzy pamiętana jest cała historia zmian wejścia i wyjścia obiektu. W przypadku identyfikacji obiektów niestacjonarnych zazwyczaj wartość parametru ustala się na nieco mniejszą od jedności (na przykład 0,99).

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Dariusz Bismor: Adaptive Algorithms for Active Noise Control in an Acoustic Duct. Gliwice: Studio Komputerowe Jacka Skalmierskiego, 1999.