SPH

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

SPH (ang. smoothed particle hydrodynamics) – metoda numeryczna służąca do przeprowadzania symulacji numerycznych zachowania się płynów.

Metoda ta została zaproponowana w roku 1977 niezależnie przez R.A. Gingolda & J.J. Monaghana oraz przez L.B.Lucy do prowadzenia obliczeń z dziedziny astrofizyki. Początkowo używana była do symulacji ściśliwych cieczy nielepkich. Z czasem została rozwinięta na nieściśliwe ciecze lepkie znajdujące się w polu grawitacyjnym, a także na zagadnienia z dziedziny magnetohydrodynamiki.


Równania ruchu[edytuj]

W metodzie SPH do opisu stanu cieczy używa się opisu Lagrange'a, gdzie siatka obliczeniowa porusza się wraz z przepływem cieczy. W takim wypadku równanie Naviera-Stokesa dla i-tej cząstki przybiera postać

Gdzie

-prędkość
- ciśnienie
- gęstość
- przyspieszenie wynikające z istnienia sił lepkości
- przyspieszenie wynikające z obecności sił masowych (np. pola grawitacyjnego)

Metoda SPH[edytuj]

Podstawy[edytuj]

Metoda ta opiera się na teorii interpolacji. Ciągłe rozkłady takich parametrów jak gęstość czy ciśnienie cieczy zastępuje się odpowiednimi estymatami przy założonym pewnym jądrze interpolacji. Obliczenia wykonujemy dla dyskretnego zbioru cząstek płynu.

Estymata pewnej wielkości w pozycji i-tej cząstki jest dana jako

Natomiast estymata gradientu wielkości jako

Gdzie

- gęstość j-tej cząstki
- masa j-tej cząstki
- jądro interpolacji

Ilość sąsiadów i długość wygładzania[edytuj]

Parametr jest nazywany długością wygładzania (smoothing length). Jest to wielkość, która określa na jaką odległość cząstka może oddziaływać z innymi cząstkami. Najczęściej w symulacji pozostaje stała podczas trwania obliczeń. Należy tylko uwzględnić, aby w promieniu znajdowała się odpowiednia liczba sąsiadów. Liczba ta powinna się wahać w granicach od do .

Tabela 1. Ilość sąsiadów w promieniu w zależności od liczby wymiarów symulacji
Jeden wymiar Dwa wymiary Trzy wymiary
liczba sąsiadów 5 15 55

Jądro interpolacji[edytuj]

Funkcja jądra interpolacji powinna być wybrana w postaci

gdzie

- liczba wymiarów
- odległość między cząstkami

Dodatkowo funkcja powinna spełniać warunki

przy czym jest elementem objętości, równym odpowiednio , lub w jednym, dwóch lub trzech wymiarach.

Najczęściej stosuje się jednak jądro interpolacyjne zaproponowane przez Monaghana

A jego gradient w postaci

gdzie

Tabela 2. Wartości parametrów i w zależności od liczby wymiarów symulacji
Jeden wymiar Dwa wymiary Trzy wymiary
1 2 3

Sztuczna lepkość[edytuj]

Lepkość w metodzie SPH jest uwzględniana poprzez dodanie w równaniu Naviera-Stokesa przyspieszenia w postaci

gdzie

- stałe, często przyjmowane jako


-stała, często przyjmowane jako

Równanie stanu[edytuj]

Najczęściej stosuje się równanie stanu w postaci

gdzie

- prędkość dźwięku w tym opisywanym płynie

przy założeniu warunku

Innym równaniem stanu stosowanym dla cieczy jest

gdzie

i - maksymalne przyjęte wartości gęstości i ciśnienia

Ostateczne równanie[edytuj]

Po podstawieniu estymat do równania Naviera - Stokesa (i nie uwzględniając pola grawitacyjnego) otrzymujemy do rozwiązania równanie dla i-tej cząstki

które można wyznaczać dowolną metodą numerycznego całkowania równań różniczkowych, ale przy założeniu, że krok czasowy spełnia warunek Couranta

Literatura[edytuj]

J.J. Monaghan, "Notes Smoothed Particle Hydrodynamics"

B.Schlatter , "A pedagogical tool using Smoothed Particle Hydrodynamics to model fluid flow past a system of cylinders"

J.P. Morris, "Analysis of Smoothed Particle Hydrodynamics with Applications"

M. Ellero, "Smoothed Particle Dynamics Methods for the Simulation of Viscoelastic Fluids"