Dynamika płynów

Dynamika płynów – dział mechaniki płynów zajmujący się ruchem płynu (czyli cieczy lub gazu), a w szczególności siłami powodującymi ten ruch.

Podstawową zależnością opisującą wpływ sił na ruch płynu newtonowskiego (przy zaniedbaniu tzw. drugiej lepkości) jest równanie Naviera-Stokesa. Jest to układ cząstkowych, nieliniowych równań różniczkowych postaci:

Zapis klasyczny	${\frac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}={\vec {b}}-{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {grad} \,p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}{\vec {v}}+{\frac {1}{3}}\,\mathbf {grad} (\mathbf {div} \,{\vec {v}})\right)$
Zapis indeksowy	${\frac {\mathrm {D} v_{i}}{\mathrm {D} t}}=b_{i}-{\frac {1}{\rho }}\nabla _{i}p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}v_{i}+{\frac {1}{3}}\nabla _{i}(\nabla _{j}v_{j})\right)$
Zapis absolutny	${\frac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}={\vec {b}}-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}{\vec {v}}+{\frac {1}{3}}{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}})\right)$

gdzie: ${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})$ – nieliniowy operator Stokesa, zwany także pochodną substancjalną.

Dla uproszczonego przypadku płynu nieściśliwego:

Zapis klasyczny	${\frac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}={\vec {b}}-{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {grad} \,p+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}$
Zapis indeksowy	${\frac {\mathrm {D} v_{i}}{\mathrm {D} t}}=b_{i}-{\frac {1}{\rho }}\nabla _{i}p+\nu \nabla ^{2}v_{i}$
Zapis absolutny	${\frac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}={\vec {b}}-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}$

gdzie:

$v$ – prędkość,

$b$ – siły masowe (np. grawitacja),

$\rho$ – gęstość płynu,

$p$ – ciśnienie,

$\nu$ – lepkość kinematyczna płynu.

Lewe strony powyższych równań są pochodną substancjalną prędkości płynu.

Uproszczeniem równania Naviera-Stokesa w założeniu przepływu ustalonego płynu doskonałego w jednorodnym polu sił grawitacyjnych jest równanie Bernoulliego.

Ze względu na nieliniowość powyższego układu równań przepływ może mieć w ogólności charakter stochastyczny, generowana jest turbulencja oraz struktury koherentne (np. wiry).

Linki zewnętrzne

• Krzysztof Mizerski i GrzegorzK.M.G. Łukaszewicz Krzysztof Mizerski i GrzegorzK.M.G., Problemy z równaniami hydrodynamiki, „Delta”, maj 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-05-04] .
• GrzegorzG. Łukaszewicz GrzegorzG., Hydrodynamika a hydraulika, „Delta”, sierpień 2017, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-05-05] .
• Grzegorz Łukaszewicz, Równania hydrodynamiki. Model a rzeczywistość, rocznik „Matematyka Poglądowa”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS), 2018 [dostęp 2026-02-06].
• Hydrodynamics, mathematical problems in (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].