Dynamika płynów

Dynamika płynów – dział mechaniki płynów zajmujący się ruchem płynu (czyli cieczy lub gazu), a w szczególności siłami powodującymi ten ruch.

Podstawową zależnością opisującą wpływ sił na ruch płynu newtonowskiego (przy zaniedbaniu tzw. drugiej lepkości ) jest równanie Naviera-Stokesa. Jest to układ cząstkowych, nieliniowych równań różniczkowych postaci:

Zapis klasyczny	${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\vec {b}}-{1 \over \rho }{\mathop {\rm {grad}}}\,p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}{\vec {v}}+{1 \over 3}{\mathop {\rm {grad}}}({\mathop {\rm {div}}}\,{\vec {v}})\right)$${\frac {D{\vec v}}{Dt}}={\vec b}-{1 \over \rho }{\mathop {{\rm {grad}}}}\,p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}{\vec v}+{1 \over 3}{\mathop {{\rm {grad}}}}({\mathop {{\rm {div}}}}\,{\vec v})\right)$
Zapis indeksowy	${\frac {Dv_{i}}{Dt}}=b_{i}-{1 \over \rho }\nabla _{i}p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}v_{i}+{1 \over 3}\nabla _{i}(\nabla _{j}v^{j})\right)$${\frac {Dv_{i}}{Dt}}=b_{i}-{1 \over \rho }\nabla _{i}p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}v_{i}+{1 \over 3}\nabla _{i}(\nabla _{j}v^{j})\right)$
Zapis absolutny	${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\vec {b}}-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}{\vec {v}}+{1 \over 3}{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}})\right)$${\frac {D{\vec v}}{Dt}}={\vec b}-{1 \over \rho }{\vec \nabla }p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}{\vec v}+{1 \over 3}{\vec \nabla }({\vec \nabla }\cdot {\vec v})\right)$

gdzie: ${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla )$${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+({\vec v}\cdot \nabla )$ – nieliniowy operator Stokesa, zwany także pochodną substancjalną.

Dla uproszczonego przypadku płynu nieściśliwego:

Zapis klasyczny	${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\vec {b}}-{1 \over \rho }{\mathop {\rm {grad}}}\,p+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}$${\frac {D{\vec v}}{Dt}}={\vec b}-{1 \over \rho }{\mathop {{\rm {grad}}}}\,p+\nu \nabla ^{2}{\vec v}$
Zapis indeksowy	${\frac {Dv_{i}}{Dt}}=b_{i}-{1 \over \rho }\nabla _{i}p+\nu \nabla ^{2}v_{i}$${\frac {Dv_{i}}{Dt}}=b_{i}-{1 \over \rho }\nabla _{i}p+\nu \nabla ^{2}v_{i}$
Zapis absolutny	${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\vec {b}}-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}$${\frac {D{\vec v}}{Dt}}={\vec b}-{1 \over \rho }{\vec \nabla }p+\nu \nabla ^{2}{\vec v}$

gdzie: v - prędkość, b - siły masowe (np. grawitacja), ρ - gęstość płynu, p - ciśnienie, ν - lepkość kinematyczna płynu.

Lewe strony powyższych równań są pochodną substancjalną prędkości płynu.

Uproszczeniem równania Naviera-Stokesa w założeniu przepływu ustalonego płynu doskonałego w jednorodnym polu sił grawitacyjnych jest równanie Bernoulliego.

Ze względu na nieliniowość powyższego układu równań przepływ może mieć w ogólności charakter stochastyczny, generowana jest turbulencja oraz struktury koherentne (np. wiry).