Dynamika płynów

Dynamika płynów – dział mechaniki płynów zajmujący się ruchem płynu (czyli cieczy lub gazu), a w szczególności siłami powodującymi ten ruch.

Podstawową zależnością opisującą wpływ sił na ruch płynu newtonowskiego (przy zaniedbaniu tzw. drugiej lepkości) jest równanie Naviera-Stokesa. Jest to układ cząstkowych, nieliniowych równań różniczkowych postaci:

Zapis klasyczny	${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\vec {b}}-{\frac {1}{\rho }}\mathop {\rm {grad}} \,p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}{\vec {v}}+{\frac {1}{3}}\mathop {\rm {grad}} (\mathop {\rm {div}} \,{\vec {v}})\right)$
Zapis indeksowy	${\frac {Dv_{i}}{Dt}}=b_{i}-{\frac {1}{\rho }}\nabla _{i}p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}v_{i}+{\frac {1}{3}}\nabla _{i}(\nabla _{j}v^{j})\right)$
Zapis absolutny	${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\vec {b}}-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu \cdot \left(\nabla ^{2}{\vec {v}}+{\frac {1}{3}}{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}})\right)$

gdzie: ${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla )$ – nieliniowy operator Stokesa, zwany także pochodną substancjalną.

Dla uproszczonego przypadku płynu nieściśliwego:

Zapis klasyczny	${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\vec {b}}-{\frac {1}{\rho }}\mathop {\rm {grad}} \,p+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}$
Zapis indeksowy	${\frac {Dv_{i}}{Dt}}=b_{i}-{\frac {1}{\rho }}\nabla _{i}p+\nu \nabla ^{2}v_{i}$
Zapis absolutny	${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\vec {b}}-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}$

gdzie:

v – prędkość,

b – siły masowe (np. grawitacja),

ρ – gęstość płynu,

p – ciśnienie,

ν – lepkość kinematyczna płynu.

Lewe strony powyższych równań są pochodną substancjalną prędkości płynu.

Uproszczeniem równania Naviera-Stokesa w założeniu przepływu ustalonego płynu doskonałego w jednorodnym polu sił grawitacyjnych jest równanie Bernoulliego.

Ze względu na nieliniowość powyższego układu równań przepływ może mieć w ogólności charakter stochastyczny, generowana jest turbulencja oraz struktury koherentne (np. wiry).