Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 21:38, 11 lis 2009

Przekierowanie do:

Zdarzenia niezależne

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+#Przekieruj [[Zdarzenia niezależne]]
-'''Niezależność zdarzeń''' - [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] <math>A, B</math> na pewnej ustalonej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> nazywane są zdarzeniami '''niezależnymi''', gdy
-: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>.
-Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \ldots, A_m\in \mathcal{A}</math>, to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu <math>(i_1, \ldots, i_k)</math> o wyrazach ze zbioru <math>\{1,\ldots, m\}</math> spełniony jest warunek
-: <math> P(A_{i_{1}} \cap ... \cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}}) \cdot ... \cdot P(A_{i_{k}})</math>.
-Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia <math>A_1, A_2,\ldots </math> są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej ''n'' zdarzenia <math>A_1, \ldots, A_n</math> są niezależne.
-== Własności ==
-* Z definicji wynika, że dwa [[Zdarzenia losowe rozłączne|zdarzenia rozłączne]] są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
-* Gdy zdarzenia <math>A_1, \ldots, A_n</math> są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne <math> A_1^\prime, \ldots, A_n^\prime </math> też są niezależne oraz:
-: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right)^\prime \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k^\prime) = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k))</math>.
-Por. [[prawa de Morgana]].
-== Niezależność σ-ciał ==
-σ-ciała <math>\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_n</math>, gdzie <math>\mathcal{F}_i\subseteq \mathcal{A}</math> dla <math>i\in\{1,\ldots, n\}</math> nazywamy '''niezależnymi''', gdy dla dowolnych <math>A_1\in \mathcal{F}_1, \ldots, A_n\in \mathcal{F}_n</math>
-: <math>P(A_1\cap\ldots \cap A_n)=P(A_1)\cdot\ldots\cdot P(A_n)</math>.
-Jeżeli <math>A_1\in \mathcal{F}_1, \ldots, A_n\in \mathcal{F}_n</math>, to przez <math>\sigma(A_i)</math> rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie <math>A_i</math>, tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór <math>A_i</math>. Dokładniej, dla <math>i\in\{1,\ldots, n\}</math>
-: <math>\sigma(A_i)=\{\varnothing, \Omega, A_i, \Omega\setminus A_i\}</math>.
-Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia <math>A_1, \ldots, A_n</math> są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
-σ-ciała <math>\sigma(A_1), \ldots, \sigma(A_n)</math> są niezależne.
-== Zobacz też ==
-* [[przegląd zagadnień z zakresu statystyki]]
-* [[zależność zmiennych losowych]]
-== Bibliografia ==
-# {{cytuj książkę |nazwisko= Jakubowski |imię= Jacek |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał |autor link2=Rafał Sztencel  |inni= |tytuł= Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |url= |data= |rok=2004 |miesiąc= |wydawca=SCRIPT |miejsce= Warszawa  |id= |strony= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat = |strony=43-47}}
-[[Kategoria:Zdarzenia losowe]]