Zdarzenia losowe niezależne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zdarzenia losowe niezależnezdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek

Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia jeśli wiedza nt. zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia Co można zapisać jako (Wyjątkiem jest przypadek kiedy - wtedy prawdopodobieństwo warunkowe jest nieokreślone; dla kompletności wtedy też uznajemy, że zdarzenie nie zależy od zdarzenia ). Z tej intuicji i wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń wynika powyższy wzór.

Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek

dla każdego układu indeksów oraz dla każdego

Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
  • Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:

Por. prawa De Morgana.

Niezależność σ-ciał[edytuj | edytuj kod]

σ-ciała gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych

Jeżeli to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór Dokładniej, dla

Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43–47.