Spontaniczne namagnesowanie

Namagnesowanie spontaniczne (pozostałość magnetyczna) – namagnesowanie przy zerowym zewnętrznym polu magnetycznym po uprzednim nasyceniu materiału.

Analiza matematyczna zjawiska

Przybliżenie pola średniego polega na zaniedbaniu fluktuacji kwantowych:

$\delta A=\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}\sim 0.$

W ten sposób mamy $\langle A^{2}\rangle =\langle A\rangle ^{2}$ i wtedy operator $A^{2}$ można zastąpić przez $2\langle A\rangle A.$ Model Heisenberga można w przybliżeniu średniego pola zapisać jako

$H_{mf}=-\mu B^{i}\sum _{n}S_{n}^{i}+\sum _{n,g}J_{g}\langle S_{n+g}^{i}\rangle S_{n}^{i}=-\mu L^{i}\sum _{n}S_{n}^{i},$

gdzie $L^{i}$ jest polem molekularnym

$L^{i}=B^{i}-{\frac {1}{\mu }}\sum _{g}J_{g}\langle S_{n+g}^{i}\rangle .$

Gdy $J_{g}<0,$ istnieje rozwiązanie, nawet gdy zewnętrzne pole magnetyczne $B^{i}=0$

$L^{3}={\frac {z|J_{g}|}{\mu }}\sigma (x)={\frac {z|J_{g}|}{2\mu }}\,\hbar \,\operatorname {tgh} (x)$

ze średnim namagnesowaniem

$\sigma =\langle S^{3}\rangle ={\frac {1}{2}}\hbar \operatorname {tgh} (x),$

gdzie:

$x={\frac {\mu \hbar L^{3}}{2k_{B}T}}.$

Jest to samouzgodnione równanie na pole molekularne $L^{3}$ które można zapisać w postaci

$t\ x={\frac {T}{T_{0}}}x=\operatorname {tgh} (x).$

$T_{0}$ określa temperaturę przejścia fazowego

$T_{0}={\frac {z|J_{g}|\hbar ^{2}}{4k_{B}}}.$

Rozwiązaniem jest przecięcie prostej $(T/T_{0})\cdot x$ z funkcją tgh(x). Funkcja $\operatorname {tgh} (x)$ ma rozwinięcie w szereg

$\operatorname {tgh} (x)=1-{\frac {1}{3}}x^{3}+\dots$

Samouzgodnione równanie $t\cdot x=\operatorname {tgh} (x)$ daje w tym przybliżeniu wynik teorii przejść fazowych Landaua

$\left({\frac {T}{T_{0}}}-1\right)x+{\frac {1}{3}}x^{3}=0.$

Równanie to wyznacza minimum (dokładniej ekstremum) energii swobodnej

$F(t,x)\sim {\frac {1}{2}}(t-1)x^{2}+{\frac {1}{12}}x^{4}.$

Bibliografia

• C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999.