Twierdzenie Strassmana

Twierdzenie Strassmana to wynik z teorii ciał, które mówi, że szeregi potęgowe ze współczynnikami z pierścienia waluacji dla odpowiednio dobranego ciała mają tylko skończenie wiele zer.

Historia

Dowód podał Reinhold Straßmann w roku 1928.

Twierdzenie

Niech $K$ będzie ciałem z niearchimedesową wartością bezwzględną, zaś $R$ jego pierścieniem waluacji. Niech $f(x)$ będzie formalnym szeregiem potęgowym o współczynnikach $a_{n}$ z $R$ zbiegających do zera względem | · |, który nie jest tożsamościowo zerem. Wtedy $f(x)$ ma tylko skończenie wiele zer w $R.$ Dokładniej, liczba zer to co najwyżej $N,$ gdzie $N$ to największy indeks spełniający $|a_{N}|=\max a_{n}.$

Dowód

Niech $K=\mathbb {Q} _{p}.$ Będziemy dowodzić przy pomocy indukcji matematycznej względem $N.$ Jeżeli $|a_{0}|>|a_{n}|$ dla $n\geqslant 1,$ to chcemy wywnioskować nieistnienie zer w $\mathbb {Z} _{p}.$ Rzeczywiście, gdyby istniało $x_{0},$ że $f(x_{0})=0,$ to

$|a_{0}|=|a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots |\leqslant \max _{n\geqslant 1}|a_{n}x^{n}|\leqslant \max _{n\geqslant 1}|a_{n}|<|a_{0}|,$

co prowadzi do sprzeczności.

Krok indukcyjny: jeżeli znaleźliśmy już $N$ i $f(\alpha )=0$ dla $\alpha \in \mathbb {Z} _{p},$ to możemy wybrać dowolne $x\in \mathbb {Z} _{p}$ i napisać:

$f(x)=f(x)-f(\alpha )=(x-\alpha )\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=0}^{n-1}a_{n}x^{j}\alpha ^{n-1-j}.$

Po zmianie kolejności sumowania mamy

$f(x)=(x-\alpha )\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }a_{j+1+k}\alpha ^{k}x^{j}=(x-\alpha )\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}.$

Widać, że $b_{j}$ dąży do zera, a nawet $|b_{j}|\leqslant \max _{k\geqslant 0}|a_{j+k+1}|\leqslant |a_{N}|$ dla każdego $j,$ zatem

$|b_{N-1}|=\left|\sum _{k=N}^{\infty }a_{k}\alpha ^{k-N}\right|=|a_{N}|.$

Skoro dla każdego $j\geqslant N$ zachodzi też

$|b_{j}|\leqslant \max _{k\geqslant 0}|a_{j+k+1}|\leqslant \max _{j\geqslant N+1}|a_{j}|<|a_{N}|,$

to liczbą zer z twierdzenia dla $f(X)/(X-\alpha )$ jest $N-1,$ co kończy dowód.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Strassman's Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).