Ciało (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Diagram Hassego przedstawiający podstawowe ciała liczbowe. Liczby nadrzeczywiste zaznaczono innym kolorem, ponieważ jako klasa właściwa spełniają tylko niestandardową, poszerzoną definicję ciała.
Liczby wymierne to przykład ciała przeliczalnego uporządkowanego liniowo.
Prosta rzeczywista – geometryczne przedstawienie ciała liczb rzeczywistych
Siedmiokąt foremny nie jest możliwy do narysowania przez konstrukcje klasyczne, o czym mówi twierdzenie Gaussa-Wantzela. Jest tak, ponieważ współrzędne jego wierzchołków nie należą do ciała liczb konstruowalnych.
Liczby zespolone to inny przykład ciała. Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że jest to ciało algebraicznie domknięte.
Płaszczyzna Fana to przykład struktury geometrycznej zbudowanej na ciele skończonym, konkretniej dwuelementowym.

Ciało – typ struktury algebraicznej z dwoma działaniami; krótko definiowany jako przemienny pierścień z dzieleniem lub dziedzina całkowitości z odwracalnością elementów.

Ciała formalizują własności algebraiczne liczb wymiernych czy rzeczywistych znanych od starożytności, jednak samodzielna teoria ciał pojawiła się w XIX wieku. Pomogła rozwiązać takie problemy jak:

Oprócz tego pojęcie ciała pojawia się w ogólnej definicji przestrzeni liniowej; przez to ciała definiują najogólniejsze pojęcia skalara.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Aksjomaty[edytuj | edytuj kod]

Ciało to struktura z działaniami i – nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem – o kilku własnościach[1]:

Element neutralny dodawania oznacza się przez 0, a element neutralny mnożenia oznacza się przez 1 i nazywa jedynką lub jednością. Czasem zakłada się, że 0 ≠ 1, czyli że ciało ma co najmniej dwa elementy[2].

Formalnie zapisuje się to przez 9 aksjomatów:

1. (łączność dodawania)
2. (przemienność dodawania)
3. (istnienie zera)
4. (możliwość odejmowania)
5. (łączność mnożenia)
6. (przemienność mnożenia)
7. (istnienie jedynki)
8. (możliwość dzielenia)
9. (rozdzielność mnożenia względem dodawania)

Mówiąc krótko, ciałem nazywa się:

Aksjomat rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala rozróżniać działania mnożenia i dodawania – nie ma rozdzielności w „drugą stronę”. Dlatego wyrażenia postaci można zapisać prościej jako Oznacza to, że mnożenie wiąże argumenty silniej niż dodawanie.

Rozbieżności nazewnicze[edytuj | edytuj kod]

W literaturze rosyjskiej i francuskiej ciała określa się terminami, które można dosłownie przetłumaczyć jako pole (ros. поле, trb. pole) lub ciało przemienne (fr. corps commutatif). Ogólne pierścienie z dzieleniem – niewymagające przemienności mnożenia – określa się słowami, które w innych kontekstach tłumaczy się jako ciało: ros. тело (trb. tieło)[4], fr. corps[5].

Pojęcie ciała jako struktury nieprzemiennej można także spotkać w niektórych tłumaczeniach książek naukowych na język polski[6]. Można wtedy mówić na przykład o ciele kwaternionów[7][8]. Rosjanie twierdzenie Wedderburna wypowiadają prosto: Każde ciało skończone jest polem.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Ciałami są między innymi niektóre rodzaje liczb:

Oprócz tego:

Ciało funkcji wymiernych wyróżnia się nieskończoną mocą przy dodatniej charakterystyce.

Algebraiczne własności ciała mają też liczby nadrzeczywiste, jednak nie tworzą one zbioru – są klasą właściwą.

Dzieje pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Pojęcia ciała – bez nadawania mu nazwy – używał Évariste Galois, który sklasyfikował ciała skończone. Później Bernhard Riemann w 1857 badał ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności[potrzebny przypis].

Nazwa ciało (niem. Körper) pojawiła się po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, oznaczając zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało.

Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne[9] amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Z definicji ciała wynika, że nie zawiera ono właściwych dzielników zera. Innymi słowy jest ono dziedziną całkowitości.
  • W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy i całe ciało Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy
  • Ciała skończone można sklasyfikować: każde z nich ma elementów, gdzie jest pewną liczbą pierwszą, a jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne, czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.

Podciała i rozszerzenia[edytuj | edytuj kod]

 Osobne artykuły: rozszerzenie ciałacharakterystyka.

Podciałem ciała nazywa się taki podzbiór ciała który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z ). Dowolny homomorfizm ciał jest zanurzeniem, gdyż

a więc dla każdego

Dla każdego ciała zawsze istnieje homomorfizm pierścieni jeżeli jest zanurzeniem, to najmniejsze podciało ciała zawierające pierścień jest izomorficzne z a o mówi się, że jest charakterystyki zero; w przeciwnym wypadku istnieje najmniejsza liczba naturalna taka, że i jest ona liczbą pierwszą; wówczas pierścień jest izomorficzny z ciałem reszt i mówi się, że ma charakterystykę równą

Jeżeli jest podciałem ciała to ciało nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała i tę relację między ciałami oznacza się Charakterystyka jest równa charakterystyce i jest przestrzenią liniową nad Stopniem rozszerzenia nazywa się wymiar tej przestrzeni liniowej. Rozszerzenie nazywa się rozszerzeniem skończonym, gdy jego stopień jest skończony, i rozszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony.

Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru istnieje najmniejsze podciało ciała Jeśli jest podciałem ciała a podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała zawierające i oznacza się

Część wspólna wszystkich podciał ciała nazywana jest podciałem prostym ciała Podciało proste jest ciałem prostym.

Konstrukcje[edytuj | edytuj kod]

  • Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
  • jest ideałem maksymalnym pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem.
  • Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego to pierścień ilorazowy
  • Rozszerzenie ciała o element przestępny (ciało funkcji wymiernych zmiennej nad ciałem ) to ciało ułamków pierścienia wielomianów
  • Jeśli ciało jest podciałem ciała natomiast jest podzbiorem to istnieje najmniejsze podciało ciała zawierające i jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała zawierających i Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała razy iloczyn elementów zbioru
  • Ultraprodukt ciał jest ciałem.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Ciało, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21].
  2. a b publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 1: Grupy i ciała, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-21].
  3. Aleksiej Kostrikin, Wstęp do algebry. Podstawy algebry, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 148, ISBN 978-83-01-14252-0 (pol.).
  4. Кострикин А.И.: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994, s. 184–185.
  5. Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957.; tłum. ros. 1969, s. 53.
  6. Pontriagin L.: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961, s. 45.
  7. Pontriagin, op. cit., s. 147.
  8. Berger M.: Géométrie. Paris: Nathan, 1977., tłum. ros., t. 1, s. 14.
  9. Por. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, hasło „Field”.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L. Pontriagin: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961.
  • E. Artin: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957.
  • M. Berger: Géométrie. Paris: Nathan, 1977.
  • А.И. Кострикин: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994.

Literatura dodatkowa[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Field (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].