Układ swobodny

Układ swobodny – układ dynamiczny swobodny to układ dynamiczny, na który nie oddziałują zewnętrzne wymuszenia.

Równanie stanu liniowego układu swobodnego (zwane też jednorodnym równaniem stanu) ma postać (w zapisie wektorowo-macierzowym):

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t).$

Brak w nim więc członu związanego z zewnętrznym wymuszeniem: $\mathbf {Bu} (t).$

Rozwiązanie tego równania przy zerowych warunkach początkowych jest trywialne: $\mathbf {x} =\mathbf {(} 0).$ Natomiast przy przyjęciu warunków początkowych różnych od zera otrzymuje się tak zwane rozwiązanie swobodne (opowiadające składowej swobodnej w rozwiązaniu równań stanu dla układu poddanego wymuszeniom zewnętrznym zob. macierz przejścia).

W przypadku układu pierwszego rzędu, to znaczy przy równaniu ${\dot {x}}=ax;$ z warunkiem początkowym $x(0)=x^{0}$ rozwiązanie swobodne ma postać $x(t)=e^{at}x^{0},$ co wynika z metody ogólnej rozwiązywania równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.

W przypadku układu rzędu $n$ rozwiązanie równania ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {Ax} ;$ z warunkiem początkowym $\mathbf {x} (0)=\mathbf {x} ^{0}$ można zapisać analogicznie w postaci $\mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} ^{0}.$

Zobacz też

• macierz przejścia