Macierz przejścia (automatyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz przejścia stanu (lub krótko macierz przejścia), macierz tranzycji, macierz transformacji, macierz fundamentalna, macierz podstawowa ang. state-transition matrix() – macierz, której iloczyn z wektorem stanu z chwili początkowej daje stan w późniejszej chwili . Macierz przejścia stanu może być wykorzystana do uzyskania ogólnego rozwiązania dla liniowych układów dynamicznych. Macierz ta znana jest też jako eksponenta macierzy.

Rozwiązanie równań stanu[edytuj]

Niech dany będzie ogólny liniowy model przestrzeni stanów w postaci równań stanu:

Rozwiązanie ogólne dane jest wówczas równaniem (jest to tak zwany wzór Cauchy-Bellmana):

,

gdzie jest macierzą przejścia określoną poniżej.

Innymi słowy: stan układu przedstawiany jest zwykle jako wektor i przedstawia pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie jesteśmy w stanie określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

Dla układu regulacji opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:

,

gdzie nazywana jest składową swobodną (zależną od warunków początkowych), a składową wymuszoną (która jest splotem odpowiedzi impulsowej i wejścia). W przypadku układu swobodnego postać rozwiązania sprowadza się do składowej swobodnej (tzw. rozwiązanie swobodne).

Wyprowadzenie wzoru dla układu jednowymiarowego[edytuj]

Wzór na stan układu jednowymiarowego, opisanego równaniami stanu:

gdzie to zadane sterowanie.

Wyznacza się go w dwóch krokach:

  1. Obliczane jest rozwiązanie bez części sterującej
    .
    Przekształca się powyższy wzór tak, aby po jednej stronie znalazło się oraz , a po drugiej stronie
    .
    Uzyskany wzór całkuje się obustronnie uzyskując:
    , gdzie to stała całkowania.
    Na koniec następuje pozbycie się logarytmu naturalnego używając eksponenty dla obydwu stron równania:
  2. Uzyskany podstawia się do równań podanych na wstępie i oblicza pochodną po czasie.
    .
    Przenosi się na prawą stronę i całkuje obustronnie:
    .
    Na koniec wstawia się uzyskane do wzoru .
    .

Macierz przejścia[edytuj]

Macierz przejścia określona jest jako:

,

gdzie jest podstawową macierzą rozwiązania, która spełnia zależność:

jest macierzą o wymiarach , która stanowi liniowe mapowanie na siebie samą, na przykład z , przy danym stanie w dowolnej chwili czasu , stan w dowolnej innej chwili określony jest przez mapowanie:

.

Podczas gdy macierz przejścia stanu nie jest całkowicie nieznana, to zawsze musi spełniać następujący związek:

i
dla każdego i gdzie jest macierzą jednostkową.

Ponadto musi posiadać następujące właściwości:

1.
2.
3.
4.

Jeśli układ jest niestacjonarny, można zdefiniować jako:

.

W przypadku niestacjonarnym, istnieje wiele różnych funkcji, które spełniają te wymagania, a rozwiązanie uzależnione jest od struktury układu. Macierz przejścia stanu musi zostać określona przed dalszą analizą rozwiązania dla układu niestacjonarnego.

Zobacz też[edytuj]