Współkońcowość

W matematyce, zwłaszcza w teorii mnogości, współkońcowość $\operatorname {cf} (\kappa ).$ zbioru częściowo uporządkowanego $\kappa$ to najmniejsza moc zbioru współkońcowego w $\kappa .$

Notacja

Dla liczby porządkowej $\alpha$ przez $O(\alpha )$ oznaczać będziemy wyznaczony przez nią odcinek początkowy, czyli zbiór mniejszych od $\alpha$ liczb porządkowych

$O(\alpha )=\{\lambda \in {\text{Ord}}:\lambda <\alpha \}.$

Definicja

Załóżmy, że $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną. Najmniejszą liczbę kardynalną $\lambda$ taką, że $\kappa$ jest sumą $\lambda$ swoich podzbiorów, z których każdy jest mocy mniejszej niż $\kappa ,$ nazwiemy współczynnikiem współkońcowości liczby $\kappa$ lub jej współkońcowością. Współczynnik współkońcowości oznacza się $\operatorname {cf} (\kappa ).$ Wyrażoną w ten sposób zależność można opisać również następująco:

$\operatorname {cf} (\kappa )=\min \left(|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subset {\mathcal {P}}(\kappa )~\wedge \forall _{A\in {\mathcal {A}}}|A|<\kappa ~\wedge ~\bigcup {\mathcal {A}}=\kappa \right).$

Liczby kardynalne $\kappa ,$ dla których $\operatorname {cf} (\kappa )=\kappa$ nazywamy regularnymi. Pozostałe liczby kardynalne są singularne.

Charakteryzacja

Załóżmy, że $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną. Powiemy, że zbiór $X\subset O(\kappa )$ jest ograniczony w $\kappa ,$ jeśli istnieje liczba porządkowa $\alpha <\kappa$ taka, że $X\subset O(\alpha ).$ W przeciwnym razie powiemy, że zbiór $X$ jest współkońcowy w $\kappa .$ Współkońcowość liczby kardynalnej równa jest mocy najmniejszego zbioru współkońcowego w $\kappa .$

Przykłady

Oczywistym przykładem regularnej liczby kardynalnej jest $\aleph _{0}.$

Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.

Dla każdej liczby porządkowej $\alpha$ zachodzi następująca zależność:

$\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })={\begin{cases}\aleph _{\alpha }&{\text{dla }}\alpha =\beta +1\\\operatorname {cf} (\alpha )&{\text{dla }}\alpha {\text{ granicznych}}\end{cases}}$