Częściowy porządek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Częściowy porządek (ang. partial order) – relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.

W matematyce dyskretnej, para , gdzie jest zbiorem, a relacją częściowego porządku określoną na bywa nazywana posetem (z ang. partially ordered set – zbiór częściowo uporządkowany).

Ostre i słabe porządki[edytuj kod]

Słabymi porządkami częściowymi nazywane są relacje zwrotne, przechodnie i antysymetryczne, z kolei ostre porządki częściowe to relacje przeciwzwrotne i przechodnie (relacja przeciwzwrotna i przechodnia jest zarazem asymetryczna). Porządki ostre i słabe są blisko związane w tym sensie, że łatwo jest zamienić relację jednego typu na relację drugiego typu.

Przypuścmy, że jest (słabym) porządkiem częściowym na zbiorze . Wówczas relacja na zdefiniowana przez

jest ostrym porządkiem częściowym.

I na odwrót, jeśli jest ostrym porządkiem częściowym na zbiorze , to relacja na zdefiniowana przez

jest (słabym) porządkiem częściowym.

Oznaczenia[edytuj kod]

Często w tekstach matematycznych używamy zarówno słabej, jak i silnej wersji porządku, którym się interesujemy. Zwyczajowo używamy wtedy oznaczeń takich, aby wersja słaba była oznaczana symbolem zawierającym znak równości (np. ), a wersja silna była oznaczona symbolem bez tego znaku (np. ).

Należy mieć jednak na uwadze, że zwyczaj taki nie wykształcił się względem inkluzji zbiorów, gdzie symbol oznaczać może zawieranie właściwe lub niewłaściwe (relację silną lub słabą). W celu uniknięcia nieporozumień stosuje się więc często symbole oraz odpowiednio dla relacji słabej i silnej.

Przykłady[edytuj kod]

Zbiór podzbiorów {x,y,z}, uporządkowany przez inkluzję
  • Szczególnym przypadkiem częściowego porządku jest porządek liniowy, w szczególności: naturalny porządek na liczbach rzeczywistych jest porządkiem częściowym.
  • Relacja określona w zbiorze liczb zespolonych:
       
    jest częściowym porządkiem. Nie jest to jednak porządek liniowy.
  • Relacja podzbiorów określona na dowolnej rodzinie podzbiorów ustalonego zbioru jest częściowym porządkiem.
  • Każdy praporządek wyznacza porządek częściowy po utożsamieniu elementów takich że i ; proces ten można nazwać redukcją praporządku do porządku.

Zobacz też[edytuj kod]