Liczby porządkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków.

Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków).

Definicja formalna[edytuj]

Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację ⊆, tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór α jest liczbą porządkową, gdy:

(i) każdy element jest podzbiorem α, tzn.
,
(ii) każde dwa różne elementy zbioru α są porównywalne w relacji ⊆, tzn.
.

Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. Natomiast w pewnych sytuacjach, rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC0) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania:

(iii) każdy niepusty podzbiór zbioru α zawiera element ε-minimalny:

Dla liczb porządkowych α i β pisze się , gdy .

Własności i przykłady[edytuj]

  • Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:
  • Jeśli α, β i γ są liczbami porządkowymi to:
(a) lub lub ,
(b) jeśli i , to ,
(c) wtedy i tylko wtedy, gdy ,
(d) każdy element α jest liczbą porządkową,
(e) jest liczbą porządkową. Liczbę tę oznacza się symbolem .
  • Jeśli A jest zbiorem liczb porządkowych, to jest liczbą porządkową.
  • Jeśli jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa α, że (silne) porządki i są izomorficzne.
  • Jeśli C jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki , że lub dla wszystkich .

Jeżeli liczba porządkowa jest postaci dla pewnej liczby , to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba która nie jest następnikowa nazywana jest liczbą graniczną.

Paradoks Burali-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące. Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]