Tekst źródłowy strony Własność Darboux

'''Własność Darboux''' – jedna z najważniejszych własności [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]].
Własność ta mówi, że funkcja ciągła przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy dwiema danymi wartościami. 
  
Przyjmijmy na przykład, że temperatura powietrza jest ciągłą funkcją czasu. Jeśli poranny odczyt wyniósł -5 stopni, a wieczorny 10 stopni, to wykorzystując własność Darboux możemy stwierdzić, że w ciągu dnia każda temperatura pomiędzy -5 a 10 stopni zaistniała przynajmniej raz; w szczególności co najmniej raz było 0 stopni.  

== Funkcje rzeczywiste ==
=== Definicja ===
Funkcja <math>f\colon\mathbb R \to \mathbb R</math> ma własność Darboux, jeśli obraz każdego przedziału jest znowu przedziałem. W szczególności<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN |id = 3890663 |tytuł = Darboux własność |data dostępu = 2021-10-04}}</ref>:
: Jeżeli <math>a<b,</math> <math>f(a)\cdot f(b) < 0,</math> obraz funkcji <math>f</math> obejmuje cały przedział <math>[f(a),f(b)]</math> (albo <math>[f(b), f(a)]</math>), więc istnieje taka wartość <math>c</math> należąca do [[Przedział (matematyka)|przedziału otwartego]] <math>(a,b),</math> że <math>f(c)=0.</math>

=== Własności ===
* [[Twierdzenie Darboux]] (opublikowane przez [[Jean Darboux|Gastona Darboux]]) mówi, że każda [[funkcja ciągła]] ma własność Darboux.

* Nie każda funkcja Darboux jest [[Funkcja ciągła|ciągła]]<ref name="eom" />. Na przykład funkcja
: <math>f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\sin\frac{1}{x},& x>0 \\
0,& x\leqslant 0
\end{array}\right.</math>
: ma własność Darboux, ale nie jest ciągła w punkcie 0.

* Suma dwóch funkcji o własności Darboux nie musi mieć własności Darboux<ref name="eom" />. Za pomocą [[indukcja pozaskończona|indukcji pozaskończonej]] można<ref>T. Radakovič, ''Über Darbouxsche und stetige Funktionen'', Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), s. 117–122.</ref> znaleźć taką funkcję <math>f\colon\mathbb R\to \mathbb R</math> o własności Darboux, że nawet funkcja <math>g(x):= f(x) + x</math> nie ma własności Darboux.

* Jeśli funkcja jest [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]] w pewnym zbiorze, to jej pochodna także ma własność Darboux w tym zbiorze<ref name="eom">{{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Darboux_property Darboux property]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-22].</ref>.

== Uogólnienie ==
Mówimy, że funkcja <math>f\colon X\to Y</math> między [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]] ma własność Darboux, jeżeli obraz każdego [[przestrzeń spójna|podzbioru spójnego]] przestrzeni <math>X</math> jest podzbiorem spójnym przestrzeni <math>Y</math>{{fakt|data=2023-11}}.
(Jest to uogólnienie powyższego pojęcia, gdyż podzbiór <math>A \subseteq \mathbb R</math> jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy <math>A</math> jest przedziałem).

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2010/12/wlasnosc-darboux-w-geometrii/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = Własność Darboux w geometrii | data = grudzień 2010 | data dostępu = 2024-11-01 }}

{{Funkcje ciągłe}}

[[Kategoria:Funkcje ciągłe]]