Własność Darboux

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Własność Darboux jest jedną z najważniejszych własności funkcji ciągłych.

Funkcja ma własność Darboux jeśli obraz każdego przedziału jest znowu przedziałem. W szczególności:

Jeżeli , , obraz funkcji obejmuje cały przedział (albo ), więc istnieje taka wartość należąca do przedziału otwartego , że .

Mówimy że funkcja między przestrzeniami topologicznymi ma własność Darboux, jeżeli obraz każdego podzbioru spójnego przestrzeni jest podzbiorem spójnym przestrzeni . (Jest to uogólnienie powyższego pojęcia, gdyż podzbiór jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.)

  • Nie każda funkcja o własności Darboux jest ciągła. Na przykład, funkcja
ma własność Darboux, ale nie jest ciągła w punkcie 0.
  • Suma dwóch funkcji o własności Darboux nie musi mieć własności Darboux. Za pomocą indukcji pozaskończonej można[1] znaleźć taką funkcję o własności Darboux, że nawet funkcja nie ma własności Darboux.
  • Jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym zbiorze, to jej pochodna także ma własność Darboux w tym zbiorze.

Przypisy

  1. T. Radakovič, Über Darbouxsche und stetige Funktionen, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), s.117-122