Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających l1: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 12:58, 30 sie 2017

Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających ℓ₁ – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że każdy ciąg ograniczony w przestrzeni Banacha zawiera podciąg, który jest słabym ciągiem Cauchy'ego bądź który jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni ℓ₁. Twierdzenie opublikowane w 1974 przez Haskella Rosenthala dla rzeczywistych przestrzeni Banacha^[1] oraz w 1975 przez Leonarda Dora dla przestrzeni zespolonych^[2].

Omówienie pojęć występujących w wypowiedzi twierdzenia

Słabe ciągi Cauchy'ego

Osobny artykuł: przestrzeń słabo ciągowo zupełna.

Ciąg $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ elementów przestrzeni Banacha nazywany jest słabym ciągiem Cauchy'ego gdy dla każdego funkcjonału $f\in X^{*}$ istnieje granica

\lim _{n\to \infty }\langle f,x_{n}\rangle

^[3].

Każdy ciąg zbieżny w słabej topologii jest słabym ciągiem Cauchy'ego, ale nie odwrotnie. W przestrzeni c₀ ciąg

x_{n}=(\underbrace {1,1,\ldots ,1} _{n},0,0,0\ldots )\quad (n\in \mathbb {N} )

jest słabym ciągiem Cauchy'ego, gdyż dla każdego elementu $(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\in \ell _{1}\cong c_{0}^{*}$ zachodzi

\langle (\xi _{k})_{k=1}^{\infty },x_{n}\rangle =\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}\to \sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}

,

gdy $n\to \infty$ ; ciąg ten nie jest jednak słabo zbieżny^[4].

Ciągi równoważne z bazą kanoniczną ℓ₁

Osobny artykuł: przestrzeń l1.

Dla każdego ograniczonego ciąg $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ elementów przestrzeni Banacha, z nierówności trójkąta wynika, że dla każdego skończonego ciągu skalarów $(c_{j})_{j=1}^{k}$ zachodzi

\|\sum _{j=1}^{k}c_{j}x_{j}\|\leqslant \sum _{j=1}^{k}\|c_{j}x_{j}\|\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }|c_{j}|\cdot M

,

gdzie

M=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|x_{n}\|.

Ciąg $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni ℓ₁, gdy istnieje takie $\delta >0$ , że dla każdego skończonego ciągu skalarów $(c_{j})_{j=1}^{k}$ zachodzi zachodzi także nierówność

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \|\sum_{j=1}^k c_j x_j\| \geqslant \sum_{j=1}^\infty |c_j|\cdot \delta} ^[5]

Baza kanoniczna

e_{n}=(0,0,0,\ldots ,\underbrace {1} _{n},0,0,0\ldots )\quad (n\in \mathbb {N} )

przestrzeni ℓ₁ (ani żaden inny ciąg jej równoważny) nie jest słabym ciągiem Cauchy'ego ponieważ dla każdego ciągu $(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\in \ell _{\infty }\in \ell _{1}^{*}$ , który nie jest zbieżny ciąg

\langle (\xi _{k})_{k=1}^{\infty },e_{n}\rangle =\xi _{k}

nie ma granicy^[3].

↑ H.P. Rosenthal, A characterization of Banach spaces containing ℓ¹, Proc. Nat. Acad. Sci. (U.S.A.) 71 (1974), 2411–2413.
↑ L.E. Dor, On sequences spanning a complex ℓ₁ space, Proc. Amer. Math. Soc. 47 (1975), 515–516.
↑ ^a ^b Diestel 1984 ↓, s. 200.
↑ Lin 2004 ↓, s. 23.
↑ Albiac i Kalton 2004 ↓, s. 11.

Bibliografia

Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
Pei-Kee Lin: Köthe-Bochner Function Spaces. Birkhäuser Basel, 2004.

[1] H.P. Rosenthal, A characterization of Banach spaces containing ℓ¹, Proc. Nat. Acad. Sci. (U.S.A.) 71 (1974), 2411–2413.

[2] L.E. Dor, On sequences spanning a complex ℓ₁ space, Proc. Amer. Math. Soc. 47 (1975), 515–516.

[CITEREFDiestel1984200-3] Diestel 1984 ↓, s. 200.

[CITEREFLin200423-4] Lin 2004 ↓, s. 23.

[CITEREFAlbiacKalton200411-5] Albiac i Kalton 2004 ↓, s. 11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-'''Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających ℓ<sub>1</sub>''' – w [[analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]], twierdzenie mówiące, że każdy [[ciąg ograniczony]] w [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] zawiera [[podciąg]], który jest [[przestrzeń słabo ciągowo zupełna|słabym ciągiem Cauchy'ego]] bądź który jest równoważny z kanoniczną bazą [[przestrzeń l1|przestrzeni ℓ<sub>1</sub>]]. Twierdzenie opublikowane w 1974 przez Haskella Rosenthala dla rzeczywistych przestrzeni Banacha<ref>H.P. Rosenthal, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC388466/ A characterization of Banach spaces containing ℓ<sup>1</sup>], ''Proc. Nat. Acad. Sci. (U.S.A.)'' '''71''' (1974), 2411–2413.</ref> oraz w 1975 przez Dora dla przestrzeni zespolonych<ref>L.E. Dor, On sequences spanning a complex ℓ<sub>1</sub> space, ''[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]'' '''47''' (1975), 515–516.</ref>.
+'''Twierdzenie Rosenthala o przestrzeniach zawierających ℓ<sub>1</sub>''' – w [[analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]], twierdzenie mówiące, że każdy [[ciąg ograniczony]] w [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] zawiera [[podciąg]], który jest [[przestrzeń słabo ciągowo zupełna|słabym ciągiem Cauchy'ego]] bądź który jest równoważny z kanoniczną bazą [[przestrzeń l1|przestrzeni ℓ<sub>1</sub>]]. Twierdzenie opublikowane w 1974 przez Haskella Rosenthala dla rzeczywistych przestrzeni Banacha<ref>H.P. Rosenthal, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC388466/ A characterization of Banach spaces containing ℓ<sup>1</sup>], ''Proc. Nat. Acad. Sci. (U.S.A.)'' '''71''' (1974), 2411–2413.</ref> oraz w 1975 przez Leonarda Dora dla przestrzeni zespolonych<ref>L.E. Dor, [http://www.ams.org/journals/proc/1975-047-02/S0002-9939-1975-0358308-X/S0002-9939-1975-0358308-X.pdf On sequences spanning a complex ℓ<sub>1</sub> space], ''[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]'' '''47''' (1975), 515–516.</ref>.
+==Omówienie pojęć występujących w wypowiedzi twierdzenia==
+===Słabe ciągi Cauchy'ego===
+{{Osobny artykuł|przestrzeń słabo ciągowo zupełna}}
+Ciąg <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> elementów przestrzeni Banacha nazywany jest ''słabym ciągiem Cauchy'ego'' gdy dla każdego [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|funkcjonału]] <math>f\in X^*</math> istnieje granica
+: <math>\lim_{n\to\infty} \langle f, x_n\rangle</math>{{odn|Diestel|1984|s=200}}.
+Każdy ciąg zbieżny w [[słaba topologia|słabej topologii]] jest słabym ciągiem Cauchy'ego, ale nie odwrotnie. W [[przestrzeń c0|przestrzeni ''c''<sub>0</sub>]] ciąg
+: <math>x_n = (\underbrace{1,1,\ldots, 1}_{n}, 0, 0, 0\ldots)\quad(n\in \mathbb N)</math>
+jest słabym ciągiem Cauchy'ego, gdyż dla każdego elementu <math>(\xi_k)_{k=1}^\infty \in \ell_1\cong c_0^*</math> zachodzi
+: <math>\langle (\xi_k)_{k=1}^\infty, x_n\rangle = \sum_{k=1}^n \xi_k \to \sum_{k=1}^\infty \xi_k</math>,
+gdy <math>n\to\infty</math>; ciąg ten nie jest jednak słabo zbieżny{{odn|Lin|2004|s=23}}.
+===Ciągi równoważne z bazą kanoniczną ℓ<sub>1</sub>===
+{{Osobny artykuł|przestrzeń l1}}
+Dla każdego ograniczonego ciąg <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> elementów przestrzeni Banacha, z [[nierówność trójkąta|nierówności trójkąta]] wynika, że dla każdego skończonego ciągu skalarów <math>(c_j)_{j=1}^k</math> zachodzi
+: <math>\|\sum_{j=1}^k c_j x_j\|\leqslant \sum_{j=1}^k \|c_j x_j\| \leqslant \sum_{j=1}^\infty |c_j|\cdot M</math>,
+gdzie
+: <math>M=\sup_{n\in\mathbb N} \|x_n\|.</math>
+Ciąg <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> jest ''równoważny z kanoniczną bazą przestrzeni'' ℓ<sub>1</sub>, gdy istnieje takie <math>\delta > 0</math>, że dla każdego skończonego ciągu skalarów <math>(c_j)_{j=1}^k</math> zachodzi zachodzi także nierówność
+: <math> \|\sum_{j=1}^k c_j x_j\| \geqslant \sum_{j=1}^\infty |c_j|\cdot \delta</math>{{odn|Albiac|Kalton|2004|s=11}}
+Baza kanoniczna
+: <math>e_n = (0, 0, 0, \ldots, \underbrace{1}_{n}, 0, 0, 0\ldots)\quad(n\in \mathbb N)</math>
+przestrzeni ℓ<sub>1</sub> (ani żaden inny ciąg jej równoważny) nie jest słabym ciągiem Cauchy'ego ponieważ dla każdego ciągu <math>(\xi_k)_{k=1}^\infty\in \ell_\infty\in \ell_1^*</math>, który nie jest zbieżny ciąg
+: <math>\langle (\xi_k)_{k=1}^\infty, e_n\rangle = \xi_k</math>
+nie ma granicy{{odn|Diestel|1984|s=200}}.
 {{przypisy}}
@@ Linia 5: / Linia 31: @@
 == Bibliografia ==
 # {{cytuj książkę|imię=Joseph|nazwisko=Diestel|tytuł=Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics|wydawca=Springer-Verlag|rok=1984|isbn=0-387-90859-5}}
+# {{cytuj książkę|imię=F.|nazwisko=Albiac|imię2=N. J.|nazwisko2=Kalton|tytuł=Topics in Banach Space Theory|miejsce=|wydawca=Springer-Verlag GmbH|rok=2006|isbn=9780387281414}}
+#{{cytuj książkę|imię=Pei-Kee|nazwisko=Lin|tytuł=Köthe-Bochner Function Spaces|wydawca=Birkhäuser Basel|ISBN=978-0-8176-3521-3|rok=2004}}
 [[Kategoria:Twierdzenia matematyczne|Rosenthala, twierdzenie o przestrzeniach zawierających ℓ1]]

Wersja z 12:58, 30 sie 2017

Omówienie pojęć występujących w wypowiedzi twierdzenia

Słabe ciągi Cauchy'ego

Ciągi równoważne z bazą kanoniczną ℓ1

Bibliografia

Ciągi równoważne z bazą kanoniczną ℓ₁