Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa

Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa jest jednym z najważniejszych twierdzeń teorii ergodycznej. Opisuje zachowanie średnich wartości funkcji ciągłych przy stosowaniu na danej zmiennej przekształcenia ergodycznego. Nosi nazwisko George'a D. Birkhoffa.

Treść twierdzenia

Niech $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $T\colon X\to X$ będzie przekształceniem zachowującym miarę ($\mu (T^{-1}A)=\mu (A)$ dla wszystkich $A\in {\mathcal {F}}$) i ergodycznym ($TA=A$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mu (A)=0$ lub $\mu (A)=1$). Wówczas, dla dowolnej funkcji $f\in L^{1}(\mu )$,

$\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu$

dla $\mu -$prawie wszystkich $x\in X$ (tzn., że zbiór $x\in X$, które nie spełniają powyższego warunku, ma miarę równą 0).