Twierdzenie o aproksymacji symplicjalnej
W topologii algebraicznej twierdzenie o aproksymacji symplicjalnej mówi, że dowolne przekształcenie ciągłe między realizacjami kompleksów symplicjalnych da się dobrze przybliżyć przez odwzorowanie symplicjalne.
Definicje[edytuj | edytuj kod]
Gwiazdą wokół wierzchołka dla danego wierzchołka kompleksu symplicjalnego nazywamy podkompleks składający się z wszystkich simpleksów które zawierają wierzchołek Gwiazdę wokół wierzchołka oznaczamy
Aproksymajcą symplicjalną funkcji ciągłej nazywamy takie odwzorowanie symplicjalne (tj. takie, odwzorowanie wierzchołków że jeśli sympleks jest sympleksem to jest sympleksem w ), że spełniony jest następujący warunek:
Treść twierdzenia[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie skończonym kompleksem symplicjalnym, a odwzorowaniem ciągłym. Wówczas istnieje takie oraz odwzorowanie symplicjalne będące aproksymacją symplicjalną gdzie jest -tym podziałem barycentrycznym kompleksu
Zastosowania[edytuj | edytuj kod]
Jeśli jest kompleksem symplicjalnym o wymiarze a jest kompleksem symplicjalnym o wymiarze oraz to z twierdzenia o aproksymacji symplicjalnej wynika, że dla dowolnej ciągłej funkcji istnieje homotopijne z nią odwzorowanie które nie jest suriekcją. W szczególności, wszystkie funkcje ciągłe dla są nieistotne (tj. homotopijne z odwzorowaniem stałym), bo ich obraz zawiera się w pewnej sferze z wyjętym punktem, a ta jest ściągalna.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.
- Peter May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999. ISBN 0-226-51183-9.
- Marian Mrozek: Topologia. 2012. s. 84 5.3.7 Aproksymacja symplicjalna. [dostęp 2019-01-24].
- Roman Duda: Wprowadzenie do Topologii. Część I. Topologia ogólna. PWN, 1986.