Algebra Jiang-Su (oznaczana jest zwykle symbolem ℨ) – pierwszy przykład nuklearnej, prostej, stabilnie skończonej, C*-algebry z jedynką, która ma taką samą K-teorię jak algebra liczb zespolonych
Algebra Jiang-Su jest obiektem istotnym z punktu widzenia programu klasyfikacji C*-algebr; algebra ℨ została skonstruowana przez Jiang Xinhuia and Su Hongbinga w 1999 roku[1]. Algebra ℨ odgrywa podobną rolę w teorii C*-algebr do hiperskończonego faktora typu II1 w teorii algebr von Neumanna.
Algebrę ℨ można opisać jako granicę prostą algebr
opisanych niżej.
Niech
są takimi liczbami naturalnymi, że
i
dzielą
oraz niech
![{\displaystyle \mathrm {I} [m_{1},m,m_{2}]=\left\{f\in C\left([0,1],M_{m}\right)\colon f(0)\in M_{\frac {m}{m_{0}}},f(1)\in M_{\frac {m}{m_{1}}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fd0c0aa616ae9de49e56b7bee7546de01633f3)
Wówczas
jest C*-algebrą, która nie ma nietrywialnych rzutów wtedy i tylko wtedy, gdy liczby
i
są względnie pierwsze.
Niech
Wówczas
![{\displaystyle (K_{0}(A),K_{0}(A)^{+},[1_{A}])=(\mathbb {Z} ,\mathbb {N} ,{\text{nwd}}(m_{0},m_{1})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99836e0ebb85dd3201b38f63a30a076554010b09)
gdzie ![{\displaystyle p=m\cdot {\text{nwd}}(m_{0},m_{1})/(m_{0}m_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bd8de6c726af14abd2b6e3911c830144cb4b17)
gdzie:
– największy wspólny dzielnik.
W szczególności
ma taką samą K-teorię jak
wtedy i tylko wtedy, gdy
i
są względnie pierwsze.
Istnieje ciąg induktywny
![{\displaystyle A_{1}\,{\stackrel {\phi _{1}}{\longrightarrow }}\,A_{2}\,{\stackrel {\phi _{2}}{\longrightarrow }}\,A_{3}\,{\stackrel {\phi _{3}}{\longrightarrow }}\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b014104dccb7d08ee031ce273cc509f2fcfa851)
gdzie
oraz odwzorowania
są postaci
![{\displaystyle \phi _{m,n}(f)=u^{*}\left[{\begin{array}{c}f\circ \xi _{1}&0&\ldots &0\\0&f\circ \xi _{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &f\circ \xi _{n}\end{array}}\right]u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94db264d2950b06777d6d2cabb14805bcebf652)
przy czym
jest pewną ciągłą drogą w grupie
macierzy unitarnych stopnia
oraz
jest takim ciągiem ciągłych dróg w przedziale [0,1], że
![{\displaystyle |\xi _{i}(x)-\xi _{i}(y)|\leqslant \left({\frac {1}{2}}\right)^{n-m}\;\;(x,y\in [0,1],i\leqslant n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a139e71e3ec544088b0f196c5af3de6fa7c2a84)
Algebra ℨ jest granicą induktywną powyższego ciągu przy czym jest ona jednoznaczna ze względu na dobór ciągu algebr
jak wyżej.