Macierz unitarna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Niezmienniki
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy
widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz unitarnamacierz kwadratowa o elementach zespolonych spełniająca własność:

gdzie:

jest macierzą jednostkową wymiaru ,
jest sprzężeniem hermitowskim macierzy .

Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz posiada macierz odwrotną równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

.

Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.

Macierz unitarna wymiaru można sparametryzować za pomocą parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).

Własności macierzy unitarnej[edytuj | edytuj kod]

Dla macierzy U słuszne są następujące stwierdzenia:

  • Dla dowolnych wektorów zespolonych and , mnożenie przez zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.
gdzie jest unitarna, zaś jest diagonalna i unitarna.
  • Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:
  • Wektory własne macierzy są ortogonalne.
  • U może być zapisana w postaci gdzie oznacza eksponentę macierzy, jest jednostką urojoną, zaś jest macierzą hermitowską.

Równoważne warunki[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:

  1. jest unitarna.
  2. jest unitarna.
  3. macierz odwrotna do jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do , tj.
  4. Kolumny tworzą bazę ortonormalną w ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  5. Wiersze tworzą bazę ortonormalną w ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  6. U jest izometrią ze względu na zwykła normę.
  7. U jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.

Grupa unitarna[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej zbiór wszystkich macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną . Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:

  • Iloczyn dwóch macierzy unitarnych jest macierzą unitarną.
  • Macierz odwrotna do macierzy unitarnej jest unitarna.
  • Macierz jednostkowa jest unitarna.

Parametryzacje macierzy unitarnych[edytuj | edytuj kod]

Macierze unitarne 1x1[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 1x1:

która zależy od 1 rzeczywistego parametru φ. Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

Przypadek gdy φ=0 jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).

Macierze unitarne 2x2[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 2x2:

która zależy od 4 rzeczywistych parametrów (φ oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych a, b). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

Gdy φ=0, to wyznaczniki macierzy jest równy 1; grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).

Macierz U może być napisana w alternatywnej formie:

po podstawieniu φ1 = ψ + Δ and φ2 = ψ – Δ otrzymamy faktoryzację:

Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2x2 a macierzami obrotu 2x2 o kącie obrotu .

Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.

Macierze unitarne 3x3[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 3x3:

która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz , która jest macierzą Cabibbo–Kobayashi–Maskawa (jest to macierz unitarna 3x3).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Macierz

jest unitarna, ponieważ

.

(2) Macierz

jest unitarna, ponieważ

.

(3) Macierz

jest unitarna, ponieważ

.

(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:

.

Macierze unitarne w fizyce[edytuj | edytuj kod]

Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.

Macierz ewolucji czasowej[edytuj | edytuj kod]

Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili przez macierz ewolucji czasowej , czyli[1]

Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:

Ponieważ

to długość wektora stanu w chwili wynosi

Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.

Wartość oczekiwana pomiaru[edytuj | edytuj kod]

Wartość oczekiwaną pomiaru w chwili z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej odpowiada operator pomiaru (reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru[2]:

co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan układu w chwili i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej) otrzymamy:

Jeżeli oznaczymy

to powyższy wzór przyjmie postać:

Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili ma postać:

Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem

Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.

Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics. T. I. New York: Hermann, 1977, s. 308-311.
  2. Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics. T. I. New York: Hermann, 1977, s. 312-315.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 2004, str.94-123.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.