Macierz unitarna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz unitarnamacierz kwadratowa o elementach zespolonych spełniająca własność:

gdzie:

jest macierzą jednostkową wymiaru
jest sprzężeniem hermitowskim macierzy

Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz posiada macierz odwrotną równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.

Macierz unitarna wymiaru można sparametryzować za pomocą parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).

Własności macierzy unitarnej[edytuj | edytuj kod]

Dla macierzy słuszne są następujące stwierdzenia:

  • Dla dowolnych wektorów zespolonych and mnożenie przez zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.
gdzie jest unitarna, zaś jest diagonalna i unitarna.
  • Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:
  • Wektory własne macierzy są ortogonalne.
  • może być zapisana w postaci gdzie oznacza eksponentę macierzy, jest jednostką urojoną, zaś jest macierzą hermitowską.

Równoważne warunki[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:

  1. jest unitarna.
  2. jest unitarna.
  3. macierz odwrotna do jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do tj.
  4. Kolumny tworzą bazę ortonormalną w ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  5. Wiersze tworzą bazę ortonormalną w ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  6. jest izometrią ze względu na zwykła normę.
  7. jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.

Grupa unitarna[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej zbiór wszystkich macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:

  • Iloczyn dwóch macierzy unitarnych jest macierzą unitarną.
  • Macierz odwrotna do macierzy unitarnej jest unitarna.
  • Macierz jednostkowa jest unitarna.

Parametryzacje macierzy unitarnych[edytuj | edytuj kod]

Macierze unitarne 1×1[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 1×1:

która zależy od 1 rzeczywistego parametru Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

Przypadek gdy jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).

Macierze unitarne 2×2[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 2×2:

która zależy od 4 rzeczywistych parametrów ( oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych ). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

Gdy to wyznaczniki macierzy jest równy 1. Grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).

Macierz może być napisana w alternatywnej formie:

po podstawieniu and otrzymamy faktoryzację:

Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2×2 a macierzami obrotu 2×2 o kącie obrotu

Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.

Macierze unitarne 3×3[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 3×3:

która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz która jest macierzą Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (jest to macierz unitarna 3×3).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Macierz

jest unitarna, ponieważ

(2) Macierz

jest unitarna, ponieważ

(3) Macierz

jest unitarna, ponieważ

(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:

Macierze unitarne w fizyce[edytuj | edytuj kod]

Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.

Macierz ewolucji czasowej[edytuj | edytuj kod]

Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili przez macierz ewolucji czasowej czyli[1]

Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:

Ponieważ

długość wektora stanu w chwili wynosi

Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.

Wartość oczekiwana pomiaru[edytuj | edytuj kod]

Wartość oczekiwaną pomiaru w chwili z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej odpowiada operator pomiaru (reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru[2]:

co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan układu w chwili i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej), otrzymamy:

Jeżeli oznaczymy

to powyższy wzór przyjmie postać:

Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili ma postać:

Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem

Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.

Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 94–123.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloë, Quantum Mechanics 1, New York: Hermann, 1977, ISBN 978-0471569527.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]