Liczby względnie pierwsze

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby względnie pierwszeliczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden[1].

Jeżeli liczby są względnie pierwsze zapisuje się to symbolicznie jako lub [2].

Liczby parami względnie pierwsze – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.

Fakt, że liczby są parami względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa[3]. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej jest liczbą liczb naturalnych między 1 a które są względnie pierwsze z [2].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
  • Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
  • Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników, co pokazuje przykład:

Na to, aby liczby były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite i spełniające równanie

Ogólniej:
Na to, aby liczby były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite spełniające równanie

[4].

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

W pierścieniu przemiennym z jedynką ideały i nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna jest całym pierścieniem[4].

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: i są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element dzieli i dzieli wynika, że jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać[potrzebny przypis].

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w (bo jest dziedziną ideałów głównych)[potrzebny przypis].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. liczby względnie pierwsze, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-08].
  2. a b Adam Neugebauer, Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 23, 146, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-13].
  3. Tom M. Apostol, Introduction to analytic number theory, New York 2010, s. 19-21, ISBN 978-1-4757-5579-4, OCLC 861705475 [dostęp 2022-07-13].
  4. a b Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 20-21, 29-31, 335, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-13].