Liczby względnie pierwsze

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby względnie pierwszeliczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jedność.
Liczby parami względnie pierwsze - liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.

Fakt, że liczby a,b,c,...d są względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie \mbox{NWD}(a,b,c,\dots,d)=1.

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej n jest liczbą liczb naturalnych między 1 a n, które są względnie pierwsze z n.

Przykłady[edytuj]

  • Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
  • Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
  • Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Własności[edytuj]

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników, co pokazuje przykład: \mbox{NWD}(4,6,9)=1, \mbox{NWW}(4,6,9)=36,\  4\cdot 6\cdot 9=216.

Na to, aby liczby a, b były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite x i y spełniające równanie

ax + by = 1.

Ogólniej:
Na to, aby liczby a_1,..., a_n były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite k_1,..., k_n spełniające równanie

k_1 a_1 + ... + k_n a_n = 1.

Uogólnienie[edytuj]

W pierścieniu przemiennym z jedynką R ideały I i J nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna I + J jest całym pierścieniem.

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: a i b są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element d dzieli a i dzieli b wynika, że d jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w \mathbb{Z} (bo \mathbb{Z} jest dziedziną ideałów głównych).

Zobacz też[edytuj]