Liczby względnie pierwsze

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Liczby względnie pierwszeliczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden[1]. Symbolicznie dla liczb zapisuje się to: W przypadku dwóch liczb używa się też znaku prostopadłości[2]:

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa[3]. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej jest liczbą liczb naturalnych między 1 a które są względnie pierwsze z [2].

Zbiory o więcej niż dwóch elementach mogą mieć własność względnej pierwszości parami – kiedy każde dwie różne liczby są względnie pierwsze[potrzebny przypis]: Względna pierwszość całego zbioru jest logicznie słabsza od tej parami; przykładowo liczby ze zbioru {2,3,4} są względnie pierwsze, ale nie są względnie pierwsze parami, ponieważ 2|4.

Relację względnej pierwszości definiuje się też dla ideałów w ogólnych pierścieniach, co opisuje dalsza sekcja.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
  • Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
  • Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Poniższa tabela zaznacza względną pierwszość liczb z zakresu 0–9:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Własności[edytuj | edytuj kod]

Względna pierwszość jako relacja dwuargumentowa ma szereg własności:

  • nie jest zwrotna; żadna liczba większa od jedynki nie jest względnie pierwsza ze sobą;
  • nie jest też przeciwzwrotna, ponieważ
  • jest symetryczna, ponieważ NWD jest działaniem przemiennym;
  • nie jest przechodnia (tranzytywna); przykładowo i ale dwójka nie jest względnie pierwsza ze sobą;
  • nie jest też przeciwprzechodnia (atranzytywna) ze względu na względną pierwszość jedynki ze sobą samą
  • implikuje, że ich najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb równa się ich iloczynowi[potrzebny przypis]:
  • warunkiem równoważnym względnej pierwszości liczb jest, aby istniały liczby całkowite i spełniające równanie[4]:

Przedostatnie twierdzenie nie uogólnia się na większą liczbę czynników; przykładowo

Na to, aby liczby były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite spełniające równanie[4]:

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

W pierścieniu przemiennym z jedynką ideały i nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna jest całym pierścieniem[4].

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: i są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element dzieli i dzieli wynika, że jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać[potrzebny przypis].

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w (bo jest dziedziną ideałów głównych)[potrzebny przypis].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. liczby względnie pierwsze, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-08].
  2. a b Neugebauer 2018 ↓, s. 23, 146
  3. Tom M. Apostol, Introduction to analytic number theory, New York 2010, s. 19–21, ISBN 978-1-4757-5579-4, OCLC 861705475 [dostęp 2022-07-13].
  4. a b c Narkiewicz 2003 ↓, s. 20–21, 29–31, 335

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]