Czynnik całkujący (metoda czynnika całkującego) – metoda pozwalająca znaleźć rozwiązania niektórych równań różniczkowych pierwszego rzędu poprzez sprowadzenie ich do równań różniczkowych zupełnych.
Niech dane będzie równanie różniczkowe
| | ![{\displaystyle P(x,y)x'+Q(x,y)y'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c3fcada9b21b74802cd574c3b01be13cc257de) |
|
(1) |
lub, w alternatywnej postaci,
| | ![{\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32e8a638729b76a220318bc1216e0d798c5fe36) |
|
(1') |
gdzie funkcje
i
są klasy
na pewnym obszarze jednospójnym
i w żadnym punkcie tego obszaru nie zerują się jednocześnie. Ponadto załóżmy, że zachodzi
![{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}\neq {\frac {\partial Q}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6d7270d9d31efb710559a9aa43527e05773027)
(warunek ten oznacza, że równanie (1) nie jest równaniem zupełnym).
Metoda czynnika całkującego polega na znalezieniu różnej od zera funkcji
takiej, że po przemnożeniu przez nią równania (1'), stanie się ono równaniem zupełnym:
| | ![{\displaystyle \mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30b1d263f27370399b0a81c0f2401b3f82464c4) |
|
(2) |
dla którego będzie zachodziło
| | ![{\displaystyle {\frac {\partial (P\mu )}{\partial y}}={\frac {\partial (Q\mu )}{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6937d6683350e907d98dbbf0e6e427e4b52f66) |
|
(3) |
Z powyższych wzorów wynika, że szukana funkcja musi posiadać pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.
Tak sprowadzone równanie, będące równaniem zupełnym daje się już scałkować, istnieje więc funkcja
dla której
jest całką (rozwiązaniem) równania (2), a zarazem i (1). Znajdywanie czynnika całkującego prowadzi do rozwiązywania równania (3) pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych, z niewiadomą funkcją
które w ogólności jest trudne do rozwiązania.
Niektóre przypadki postaci czynnika całkującego[edytuj | edytuj kod]
Czynnik całkujący zależny tylko od
[edytuj | edytuj kod]
Przypuśćmy, że równanie (1) ma czynnik całkujący zależny tylko od zmiennej
Oznacza, to że musi on spełniać równanie
| | ![{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}\mu ={\frac {\partial Q}{\partial x}}\mu +{\frac {d\mu }{dx}}Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd6ce58a92d50983d9c405ec3c3b1de54235211) |
|
(4) |
jako że
Zakładając, że
otrzymujemy
| | |
|
(4') |
Aby istniał czynnik całkujący
konieczne jest, by prawa strona równania (4') była zależna tylko od zmiennej
| | |
|
(5) |
Wtedy, rozwiązując równanie o zmiennych rozdzielonych (4') otrzymujemy, że
| | ![{\displaystyle \mu (x)=C\exp \left(\int \psi (x)dx\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf6b077b82de2d2ab87bf042efa7a76255ed72b) |
|
(6) |
gdzie
jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a
to oznaczenie funkcji eksponencjalnej. Każda z tak otrzymanych funkcji
jest czynnikiem całkującym, zwyczajowo więc przyjmuje się, że
Niech dane będzie równanie liniowe
| | ![{\displaystyle y'(x)+p(x)\ y(x)=q(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1bbfd6aa47c6b531235dc7725ee8d6a68a71dd4) |
|
(7) |
Warunek (5) jest spełniony, ponieważ w naszym przypadku
i
oraz
![{\displaystyle {\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q}}=p(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d50d19920a0df389d5327cf1153eceea0a96a26)
tak więc czynnikiem całkującym równania (7) jest
![{\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int p(x)dx\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6bff12f966ed893747e22601f7403fad431e75)
Czynnik całkujący zależny tylko od
[edytuj | edytuj kod]
Postępując analogicznie, jak w poprzednim przykładzie, czynnik całkujący równania (1) zależny od
istnieć będzie tylko wtedy, gdy
oraz prawa strona równania
| | ![{\displaystyle {\frac {\mu '_{y}}{\mu }}={\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{-P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724478de925f8113e38840041307377f24cf0096) |
|
(8) |
będzie zależna tylko od
Wtedy czynnik całkujący będzie postaci
| | ![{\displaystyle \mu (y)=C\exp \left(\int \psi (y)dy\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c570426a57714278f2ac4b516f0a93a0b2e5e43c) |
|
(9) |
gdzie ponownie
jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a
to prawa strona równania (8).
Czynnik całkujący zależny od
[edytuj | edytuj kod]
Ponownie, załóżmy, że równanie (1) ma czynnik całkujący postaci
gdzie
Zauważmy, że funkcja
jest formalnie funkcją zmiennej
Warunek (3) przyjmuje postać
![{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}\mu +P{\frac {d\mu }{dS}}{\frac {\partial S}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}\mu +Q{\frac {d\mu }{dS}}{\frac {\partial S}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc0f48ab4b44713da04c743df1f3299f9c80985)
![{\displaystyle \mu '_{S}\left(P{\frac {\partial S}{\partial y}}-Q{\frac {\partial S}{\partial x}}\right)=\mu \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e07399af91650dc930d4b976de574c4c8d12824)
Ponieważ
zakładając, że
warunkiem na to, by funkcja
była czynnikiem całkującym (1) jest, aby prawa strona równania
| | ![{\displaystyle {\frac {\mu '_{S}}{\mu }}={\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q-P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3872e656805b735ce8e0c80fdc01c58776e291e3) |
|
(10) |
zależała tylko od
czyli od
Czynnik całkujący ma wtedy postać
![{\displaystyle \mu =\exp \left(\int \psi (S)dS\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bbf788b6e57bbe81cfa6d03eb8f130270b7e6c)
gdzie
jak poprzednio jest prawą stroną (10).
Rozpatrzmy równanie
| | ![{\displaystyle (3x+4y)dx-(2x+y)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750facc7fb690488151c8d3e17c0f6b57d768d09) |
|
(11) |
W naszym przypadku
oraz
![{\displaystyle {\frac {{\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}}{Q-P}}={\frac {6}{-5x-5y}}={\frac {-6}{5(x+y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c7be4239ed18b5b4b0c478911eab8f431bfb8b)
Prawa strona równania jest zależna tylko od
więc czynnik całkujący będzie postaci
![{\displaystyle \mu =\exp \left(\int {\frac {-6}{5S}}dS\right)=\exp \left(-{\frac {6}{5}}\ln S\right)=S^{-{\frac {6}{5}}}=(x+y)^{-{\frac {6}{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3db8e49fd8f2ff4e055b3090d98af39835e34b)
Załóżmy w końcu że równanie (1) ma czynnik całkujący postaci
gdzie
jest dowolną funkcją, posiadającą pochodne cząstkowe i dla której zachodzi
Warunek (3) przyjmuje ponownie postać
![{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}\mu +P{\frac {d\mu }{dS}}{\frac {\partial S}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}\mu +Q{\frac {d\mu }{dS}}{\frac {\partial S}{\partial x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5ef18b4207dc231ef54ec9ce9e0a4874820231)
a warunkiem, by
była czynnikiem całkującym (1) jest, by prawa strona równania
| | ![{\displaystyle {\frac {\mu '_{S}}{\mu }}={\frac {{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}}{P{\frac {\partial S}{\partial y}}-Q{\frac {\partial S}{\partial x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71d2f0d4cc9ce1c4e30b885fd984aee881039a8) |
|
(12) |
była zależna jedynie od
Istnienie i jednoznaczność czynnika całkującego[edytuj | edytuj kod]
Zakładając istnienie całki ogólnej równania (1), przy poprzednich założeniach można wykazać[1][2] , że każde równanie postaci (1') ma czynnik całkujący.
Z postaci czynnika całkującego
| | ![{\displaystyle \mu =C\exp \left(\int \psi (S)dS\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13716c62b33daecfcd688cc549f5b9b319b352c7) |
|
(13) |
wynika, że dla dowolnej, niezerowej liczby rzeczywistej
jest czynnikiem całkującym. Oprócz tego, jeśli
jest czynnikiem całkującym równania (1), to
![{\displaystyle \mu _{1}=\mu \varphi (U),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1bc7ba07b42dbd948356a13916c2ec07d75623)
gdzie
jest całką ogólną równania (1) a
jest dowolną, niezerową funkcją mającą ciągłą pochodną, także jest czynnikiem całkującym (1). W istocie, pomiędzy każdymi dwoma czynnikami całkującymi równania (1) zachodzi zależność (13)[1].
- Nikolaj M. Matwiejew: Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Warszawa: PWN, 1970.
- Herbert Goering: Elementarne metody rozwiązywania równań różniczkowych. Warszawa: PWN, 1971.
- Existence of Integrating Factor. ProofWiki, 2009. [dostęp 2013-07-09]. (ang.).