Funkcja wykładnicza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja wykładniczafunkcja postaci:

, gdzie .

Niektórzy autorzy[1] wymagają, aby podstawa funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla funkcja jest funkcją stałą.

Własności[edytuj]

  • Dla funkcja wykładnicza o podstawie jest rosnąca, dla malejąca. Jeśli to funkcja jest stała.
  • Pochodna funkcji wykładniczej to:

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla mamy

  • Funkcja wykładnicza o podstawie jest (przy argumencie dążącym do ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna[edytuj]

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego:

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: .

Wykres funkcji :

Exp plot real.png

Płaszczyzna zespolona[edytuj]

Wykres na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

Jest to funkcja okresowa z okresem i można ją zapisać jako:

gdzie a i b to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

dla wszystkich z i w.

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: PWN, 1978. str. 87