Funkcja modularna Webera

Funkcje modularne Webera – rodzina funkcji zespolonych zdefiniowanych przez H. Webera. Niech $\eta$ oznacza funkcję modularną Dedekinda, zaś $\zeta _{48}$ oznacza pierwiastek jedności 48. stopnia. Funkcje Webera definiujemy w sposób następujący:

$f(\tau )={\frac {\eta ({\frac {1}{2}}(\tau +1))}{\zeta _{48}\eta (\tau )}}$

$f_{1}(\tau )={\frac {\eta ({\frac {1}{2}}\tau )}{\eta (\tau )}}$

$f_{2}(\tau )={\sqrt {2}}{\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}$

$\gamma _{2}(\tau )={\frac {f^{24}(\tau )-16}{f^{8}(\tau )}}$

$\gamma _{3}(\tau )={\frac {[f^{24}(\tau )+8][f_{1}^{8}(\tau )-f_{2}^{8}(\tau )]}{f^{8}(\tau )}}$

Funkcje Webera są wykorzystywane w praktyce m.in. we współczesnych wersjach algorytmu ECPP służącego do dowodzenia pierwszości liczb.

Bibliografia

• Weber, H. Lehrbuch der Algebra, Vols. I-II. New York: Chelsea, pp. 113-114, 1902
• Atkin, A. O. L. and Morain, F. Elliptic Curves and Primality Proving. Math. Comput. 61, 29-68, 1993