Pierwiastek z jedynki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierwiastek z jedynki n-tego stopnia w ciele K – element a \in K spełniający równość[1]:

a^n = 1\;.

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem K może być w szczególności ciało \mathbb C[2].

Grupa pierwiastków[edytuj]

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia n tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu n, zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt \mathbb Z_n. Generatorami tej grupy są te pierwiastki \varepsilon_n^{(k)} dla których \mbox{NWD}(n, k) = 1\;, czyli liczby n\; i k\;względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia n z jedynki jest równa \varphi(n)\;, gdzie \varphi\; jest funkcją Eulera.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych[edytuj]

W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre'a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre'a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki n-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o n bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie 1. Realizują one podział tego okręgu na n równych części.

Przykłady[edytuj]

  • Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy 1.
  • Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są +1 oraz -1.
  • Pierwiastki sześcienne z jedynki to
 1, \tfrac{-1 + i\sqrt 3}{2}, \tfrac{-1 - i\sqrt 3}{2},
  • Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru
\{1, +i, -1, -i\}.

Własności[edytuj]

Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie n\; różnych pierwiastków stopnia n z jedynki:

\varepsilon_n^{(k)} = \cos\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\tfrac{2k\pi}{n}\right) = e^\frac{2\pi i k}{n}, gdzie k = 0, 1, \dots, n-1.

Dla n > 1 wszystkie pierwiastki z jedynki n-tego stopnia sumują się do 0:

\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{2\pi i k}{n} = 0.

Przypadek n=2 powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia \mathbb C_n wyczerpują skończone podgrupy grupy multyplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

\mathbb C_{p^\infty} \overset\underset\mathrm{def}\ = \bigcup_{n=1}^\infty~\mathbb C_{p^n},

gdzie p jest ustaloną liczbą pierwszą.

Przypisy

  1. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86.
  2. van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros.,Москва 1976, s. 153

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros.,Москва 1976, s. 153-158
  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86-88.