Pierwiastek z jedynki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierwiastek z jedynki -tego stopnia w ciele K – element spełniający równość[1]:

gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem może być w szczególności ciało [2].

Grupa pierwiastków[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt Generatorami tej grupy są te pierwiastki dla których czyli liczby i względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia z jedynki jest równa gdzie jest funkcją Eulera.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych[edytuj | edytuj kod]

W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki -tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie Realizują one podział tego okręgu na równych części.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy
  • Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są oraz
  • Pierwiastki sześcienne z jedynki to
  • Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru

Własności[edytuj | edytuj kod]

Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie różnych pierwiastków stopnia z jedynki:

gdzie

Dla wszystkie pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do

Przypadek powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

gdzie jest ustaloną liczbą pierwszą.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86.
  2. van der Waerden B.L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros., Москва 1976, s. 153.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • van der Waerden B.L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros., Москва 1976, s. 153–158.
  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86–88.