Pierwiastek z jedynki

Pierwiastek z jedynki $n$-tego stopnia w ciele K – element $a\in K$ spełniający równość:

$a^{n}=1.$

gdzie $n$ jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem $K$ może być w szczególności ciało $\mathbb {C}$.

Grupa pierwiastków

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia $n$ tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu $n,$ zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt $\mathbb {Z} _{n}.$ Generatorami tej grupy są te pierwiastki $\varepsilon _{n}^{(k)}$ dla których ${\mbox{NWD}}(n,k)=1,$ czyli liczby $n$ i $k$ są względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia $n$ z jedynki jest równa $\varphi (n),$ gdzie $\varphi$ jest funkcją Eulera.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych

W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki $n$-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o $n$ bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie $1.$ Realizują one podział tego okręgu na $n$ równych części.

Przykłady

• Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy $1.$
• Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są $+1$ oraz $-1.$
• Pierwiastki sześcienne z jedynki to

$1,{\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}},$

• Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru

$\{1,+i,-1,-i\}.$

Własności

Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie $n$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z jedynki:

$\varepsilon _{n}^{(k)}=\cos \left({\tfrac {2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\tfrac {2k\pi }{n}}\right)=e^{\frac {2\pi ik}{n}},$ gdzie $k=0,1,\dots ,n-1.$

Dla $n>1$ wszystkie pierwiastki z jedynki $n$-tego stopnia sumują się do $0{:}$

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0.$

Przypadek $n=2$ powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia $\mathbb {C} _{n}$ wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

$\mathbb {C} _{p^{\infty }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\bigcup _{n=1}^{\infty }~\mathbb {C} _{p^{n}},$

gdzie $p$ jest ustaloną liczbą pierwszą.

Zobacz też

• addytywna grupa klas reszt
• ciało algebraicznie domknięte
• liczby zespolone

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 86–88.
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros., Москва 1976, s. 153–158.

Literatura dodatkowa

• Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.brak strony w książce