Pierwiastek z jedynki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierwiastek z jedynki n-tego stopnia w ciele K – element spełniający równość[1]:

.

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną większą od 0. Ciałem może być w szczególności ciało [2].

Grupa pierwiastków[edytuj]

Zbiór wszystkich pierwiastków jedynki stopnia tworzy grupę ze względu na mnożenie.

Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu , zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt . Generatorami tej grupy są te pierwiastki dla których , czyli liczby i względnie pierwsze. Nazywa się je pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki. Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia n z jedynki jest równa , gdzie jest funkcją Eulera.

Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych[edytuj]

W tym ciele pierwiastki z jedynki nazywane są także liczbami de Moivre'a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre'a.

Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki n-tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie . Realizują one podział tego okręgu na n równych części.

Przykłady[edytuj]

  • Istnieje tylko jeden pierwiastek z jedynki pierwszego stopnia – równy .
  • Pierwiastkami kwadratowymi jedynki są oraz .
  • Pierwiastki sześcienne z jedynki to
,
  • Pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są elementy zbioru
.

Własności[edytuj]

Pierwiastki piątego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Istnieje dokładnie różnych pierwiastków stopnia z jedynki:

, gdzie .

Dla wszystkie pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do :

.

Przypadek powyższej tożsamości jest znana szerzej pod nazwą tożsamości Eulera.

Grupy pierwiastków z jedności n-tego stopnia wyczerpują skończone podgrupy grupy multyplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy

,

gdzie jest ustaloną liczbą pierwszą.

Przypisy

  1. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86.
  2. van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros.,Москва 1976, s. 153

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Bagiński Cz.: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967., tłum. ros.,Москва 1976, s. 153-158
  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 86-88.