Okno czasowe

Okno czasowe – funkcja opisująca sposób pobierania próbek z sygnału. Zakładając, że obserwowany jest pewien sygnał $u(n)$ w skończonym przedziale czasu, wtedy wynikiem tej obserwacji będzie sygnał:

$g(n)=u(n)w(n),\ -\infty <n<\infty ,$

gdzie $w(n)$ jest właśnie funkcją okna.

Od postaci funkcji okna zależą różnice pomiędzy widmem sygnału obserwowanego $u(n),$ a widmem wyniku obserwacji $g(n).$ Istnieje wiele zdefiniowanych funkcji okna, kilka przykładowych przedstawiono poniżej.

Okna o wysokiej i umiarkowanie wysokiej rozdzielczości

Okno prostokątne

Okno prostokątne; B = 1,00

$w(n)=1$

Okno Gaussa

Okno Gaussa; σ = 0,4; B = 1,45

$w(n)=e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-(N-1)/2}{\sigma (N-1)/2}}\right)^{2}}$

$\sigma \leqslant 0{,}5$

Okno Hamminga

Okno Hamminga; α = 0,53836; β = 0,46164; B = 1,37

$w(n)=\alpha -\beta \;\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)$

$w(n)=0{,}53836-0{,}46164\;\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)$

Okno Hanna (Hanninga)

Okno Hanna (Hanninga); B = 1,50

$w(n)=0{,}5\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)\right)$

Okno Bartletta

Okno posiada zerowe wartości skrajnych elementów.

Okno Bartletta; L = N-1; B = 1,33

$w(n)=1-\left|{\frac {n-{\frac {N-1}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|$

$L=N-1$

$w(n)=1-\left|{\frac {n-{\frac {N-1}{2}}}{\frac {N-1}{2}}}\right|$

Okno Trójkątne

Okno posiada niezerowe wartości skrajnych elementów.

Okno Trójkątne; L = N; B = 1,33

$w(n)=1-\left|{\frac {n-{\frac {N-1}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|$

$L=N$

$w(n)=1-\left|{\frac {n-{\frac {N-1}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right|$

Okno Bartletta-Hanna

Okno Bartletta-Hanna; B = 1,46

$w(n)=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N-1}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0{,}62;\quad a_{1}=0{,}48;\quad a_{2}=0{,}38$

Okno Blackmana

Okno Blackmana; α = 0,16; B = 1,73

$w(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}$

$\alpha =0{,}16$

$a_{0}=0{,}42;\quad a_{1}=0{,}5;\quad a_{2}=0{,}08$

Okno Kaisera

Okno Kaisera; α = 2; B = 1,7952

$w(n)={\frac {I_{0}{\Bigg (}\pi \alpha {\sqrt {1-({\tfrac {2n}{N-1}}-1)^{2}}}{\Bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )}}$

Okna o niskiej rozdzielczości (ale o dużej dynamice)

Okno Nuttalla

Okno Nuttalla; z ciągłą pierwszą pochodna; B = 2,02

$w(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0{,}355768;\quad a_{1}=0{,}487396;\quad a_{2}=0{,}144232;\quad a_{3}=0{,}012604$

Okno Blackmana-Harrisa

Okno Blackmana-Harrisa; B = 2,0044

$w(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0{,}35875;\quad a_{1}=0{,}48829;\quad a_{2}=0{,}14128;\quad a_{3}=0{,}01168$

Okno Blackmana-Nuttalla

Okno Blackmana-Nuttalla; B = 1,9761

$w(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0{,}3635819;\quad a_{1}=0{,}4891775;\quad a_{2}=0{,}1365995;\quad a_{3}=0{,}0106411$

Okno Flat top

Ten rodzaj okna posiada najlepszą (w porównaniu z przedstawionymi wyżej funkcjami okna) dokładność odzwierciedlania amplitudy.

Okno Flat top; B = 3,7702

$w(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=1;\quad a_{1}=1{,}93;\quad a_{2}=1{,}29;\quad a_{3}=0{,}388;\quad a_{4}=0{,}028$