Igła Buffona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Igła Buffona – jeden z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon[1], a w 1777 podał on jego rozwiązanie[2]. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

Opis problemu i rozwiązanie[edytuj | edytuj kod]

Buffon needle.gif

Mamy planszę z zaznaczonymi pionowymi liniami odległymi od siebie o . Upuszczamy na nią igłę o długości , przy czym . Eksperyment powtarzamy razy, i zliczamy ile razy igła przecięła którąś z linii siatki, otrzymując wartość . Jak oszacować stosunek , czyli prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?

Niech będzie odległością środka igły od najbliższej linii, a ostrym kątem między igłą a linią. Obie zmienne losowe są niezależne i podlegają rozkładowi równomiernemu:

Igła przetnie linię jeśli

Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:

Ponieważ eksperyment pozwala oszacować prawdpopodobieństwo przecięcia linii i igły przez , otrzymujemy równość:

,

która po przekształceniu daje:

Komentarze[edytuj | edytuj kod]

Pierwotna wersja problemu dotyczyła oszacowania prawdopodobieństwa w grze Franc-Carreau polegającej na rzucaniu okrągłą monetą na podłogę podzieloną na kwadraty[3]. Przegrana następowała jeśli moneta upadła na linię.

Jeżeli znamy liczbę π, opisany eksperyment może służyć jako estymacja innych zmiennych, np. długości igły.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Métin Frédéric. „La mémoire des nombres. Buffon et le problème de l'aiguille : Le mémoire sur le jeu de Franc-Carreau de 1733". p. 343-359, IREM de Basse-Normandie Caen, 1997
  2. Georges Buffon. „Essai d'arithmétique morale”, 1777
  3. Scott E. Brodie. „Buffon's Needle Problem”, http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]