Zmienna losowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zmienna losowafunkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisująca wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Definicja[edytuj]

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną , tzn. funkcję spełniającą warunek

dla każdego zbioru borelowskiego

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. lub liter greckich odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Uogólnienia[edytuj]

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) – i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni o wartościach w przestrzeni nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać , gdzie dla są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary , gdzie jest zmienną losową.
Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.
  • Niech dane będą: σ-ciało zbiorów borelowskich przedziału oraz określona na nim miara Lebesgue’a . Każda funkcja ciągła jest zmienną losową.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 59. ISBN 83-89716-01-1.