Liczba Nusselta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba Nusselta – w termodynamice jedna z liczb podobieństwa. W ośrodku płynnym wyraża ona stosunek szybkości wymiany ciepła w wyniku konwekcji do szybkości wymiany ciepła w wyniku przewodnictwa cieplnego. Liczbę Nusselta definiuje się zwykle jako:

\text{Nu} =\frac {E_{konwekcji}} {E_{przewodzenia}} = \frac{\alpha \cdot d}{\lambda}

gdzie:

Jeśli przepływ ciepła w układzie odbywa się wyłącznie poprzez przewodnictwo (konwekcja nie występuje), liczba Nusselta jest równa 1[1]. Odpowiednikiem liczby Nusselta w procesie wymiany masy jest liczba Sherwooda (Sh)

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Zestawmy przy ściance prawo Newtona dla strumienia ciepła dla konwekcji (lewa strona poniższego równania) i prawa Fouriera dla przewodnictwa (z prawej):

\alpha (T_w-T_f)=-\lambda\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_w

gdzie: \alpha to wsp. przenikania ciepła, \lambda to wsp. przewodzenia ciepła, T to temperatura, Tw to temperatura ścianki, Tf to temperatura płynu w nieskończoności. Pochodna temperatury wzięta w nawias z dolnym indeksem 'w' oznacza że jest liczona zaczynając od ścianki w kierunku do niej prostopadłym (y). Równanie jest w [W/m^2] a więc odzwierciedla natężenie strumienia ciepła

Przy ściance (szary kolor) znajduje się cienka warstwa przyległego (nieruchomego, przylepionego) płynu który przewodzi ciepło (\lambda, oraz gradient temperatury od powierzchni ścianki w kierunku płynu), natomiast dalej od ścianki znajduje się ruchomy płyn w którym wymiana ciepła następuje za sprawą konwekcji (\alpha. Tf=temperatura fluidu w nieskończoności, Tw=temperatura ścianki). Ilość ciepła przejęta przez przewodzenie musi być równa ilości ciepła przejętego przez przejmowanie. Czerwona linia to temperatura (pionowa oś) względem odległości od ścianki. Naniesiono czarną linią pochodną temperatury przy ściance. Ta pochodna razy \lambda daje przybliżenie wartości natężenia strumienia ciepła związanego z przewodzeniem. Czerwona krzywa obrazuje jak kształtuje się temperatura w zależności od odległości od ścianki (która na rysunku założono, że jest chłodniejsza niż płyn w nieskończoności).

Obszar w pobliżu ścianki

Po podzieleniu odpowiednim powyższego równania dostajemy:

\frac{\alpha}{\lambda} =-\frac{1}{(T_w-T_f)}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_w

Używając dalej teorii podobieństwa, czyli porównując dwa układy: rzeczywisty oraz jego model, otrzymamy liczbę Nusselta następująco:

Układ rzeczywisty Układ modelowy
\frac{\alpha}{\lambda}=-\frac{\partial T}{\partial y}\frac{1}{T_w-T_f} \frac{\alpha'}{\lambda'}=-\frac{\partial T'}{\partial y'}\frac{1}{T_w'-T_f'}

Definiujemy stałe podobieństwa \alpha:

y'=\alpha_ly \alpha'=\alpha_\alpha\alpha T^'=\alpha_TT
\lambda'=\alpha_\lambda\lambda t^'=\alpha_tt

Podstawiając te zależności do równania układu modelowego otrzymamy

\frac{\alpha_\alpha}{\alpha_\lambda}\frac{\alpha}{\lambda}=-\frac{1}{\alpha_l}\frac{\partial T}{\partial y}\frac{1}{T_w-T_f}

Z podobieństwa obydwu zjawisk wynika że równania rzeczywiste i modelowe po podstawieniu zmiennych rzeczywistych, powinny być identyczne. Jest to możliwe w sytuacji, gdy jedno z nich zostało pomnożone przez skalar. Zatem współczynniki zawierające stałe podobieństwa, muszą dawać wartość właśnie tego skalara, zatem muszą być sobie równe tj.:

\frac{\alpha_\alpha}{\alpha_\lambda}=\frac{1}{\alpha_l}

zatem dostajemy:

Zależność idem
\frac{\alpha_\alpha\alpha_l}{\alpha_\lambda}=1 \Rightarrow \frac{\alpha l}{\lambda}=\frac{\alpha'l'}{\lambda'}= Nu

Przykładowa normalizacja[edytuj | edytuj kod]

Możemy znormalizować wejściowe równanie, tak aby otrzymać jego postać bezwymiarową (bez jednostek) dla tego przypadku. Jeżeli dane z obliczeń i różnych eksperymentów zostaną podobnie znormalizowane to wówczas w łatwy sposób można je między sobą porównywać. Zatem normalizacja stanowi swego rodzaju "wspólny mianownik" dla danych pochodzących z różnych źródeł.

Wprowadźmy następujące zmienne bezwymiarowe (z gwiazdką)

Zmienna Jednostka Zakres zmiennych wymiarowych Zakres zmiennych bezwymiarowych
T=T^*(T_w-T_f) [K] T\in [T_w, T_f] T^*\in [\frac{T_w}{T_w-T_f},\frac{T_f}{T_w-T_f}]
y=y^*L [m] y\in [0,L] y^*\in [0,1]

Gdzie L jest wybranym (charakterystycznym) geometrycznym (wymiarowym [m]) - choć równanie generalnie dotyczy obszaru od ścianki w nieskończoność. Jednostką zmiennej y jest metr natomiast zmienna y* jest bezwymiarowa (nie ma jednostki) - i dopiero iloczyn y*L staje się wymiarowy gdyż parametr L zawiera jednostkę [m]. Podobnie rzecz się ma z T i T* gdzie różnica Tw-Tf zawiera jednostkę [K] podobnie jak zmienna T zaś zmienna T* nie ma wymiaru.

Do wejściowego równania:

\alpha (T_w-T_f)=-\lambda\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_w

możemy podstawić nowe zmienne

\alpha (T_w-T_f)=-\lambda\left(\frac{\partial (T_w-T_f)T^*}{\partial Ly^*}\right)_w

dostając

\alpha (T_w-T_f)=-\frac{(T_w-T_f)}{L}\lambda\left(\frac{\partial T^*}{\partial y^*}\right)_w

po podzieleniu obustronnym przez \frac{(T_w-T_f)}{L}\lambda otrzymamy:

\frac{\alpha L}{\lambda}=-\left(\frac{\partial T^*}{\partial y^*}\right)_w

zatem wejściowe równanie przybierze następującą bezwymiarową postać:

Nu=-\left(\frac{\partial T^*}{\partial y^*}\right)_w

wraz z warunkiem brzegowym (który wynika powyższego podstawienia T=T^*(T_w-T_f) oraz tego że dla y=0 ma być T=T_w ):

y=0 \Rightarrow T^*_w=T_w/(T_w-T_f)

gdzie liczba Nusselta jest zdefiniowana jako:

Nu=\frac{\alpha L}{\lambda}

L to głębokość zbiornika, \alpha to wsp. przenikania ciepłą dla wody, \lambda to wsp. przewodzenia ciepła dla wody.

Dostając rozwiązanie T* (czyli rozkład bezwymiarowej temperatury względem odległości od ścianki w cienkiej nieruchomej warstwie płynu przylegającego do niej) dla tak postawionego bezwymiarowego równania, możemy przeliczyć ten wynik dla układów podobnych (czyli takich które mogą być opisane tym samym równaniem oraz posiadające taką samą wartość liczby Nusselta. Wówczas wynik dla takiego przypadku będzie jako przez T=T^*(T_w-T_f)

Rozwiązanie dla cienkiej warstwy płynu przylegającego do ścianki, gdzie występują, rozkład temperatury jest liniowy (patrz rysunek powyżej):

Scałkujmy obustronnie równanie bezwymiarowe po dy:

\left.Nu=-\left(\frac{\partial T^*}{\partial y^*}\right)_w\right/\int dy^*

dostając:

T^* = C^* - y^*Nu

gdzie C to stała będąca sumą stałych pojawiających się po lewej i prawej stronie scałkowanego równania.

Uwzględniając warunek brzegowy na ściance (tj. dla y^*=0 jest T^*(0) = T^*_w = T_w/(T_w-T_f)), mamy:

C = T^*_w

Zatem rozwiązanie równań bezwymiarowych ma postać:

T^* = T^*_w - y^*Nu

Taka znormalizowana (bezwymiarowa) forma rozwiązania pozwala w łatwy sposób porównywać wyniki między sobą dla np. różnych przypadków zmierzonych eksperymentalnie i podobnie znormalizowanych.

W celu uzyskania wymiaru w rozwiązaniu można odwrócić proces normalizacji wprowadzając T^*=T/(T_w-T_f), y^*=y/L oraz Nu=\frac{\alpha L}{\lambda} i otrzymując:

T=T_w-\frac{\alpha}{\lambda}(T_w-T_f)y

Przypisy