Styczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Konstrukcja stycznej do krzywej

Prosta styczna do krzywej w punkcie – prosta, która jest granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty i , gdy punkt dąży (zbliża się) do punktu po krzywej .

Niech punkt będzie rzutem punktu na oś i niech styczna przecina oś w punkcie zaś prosta będąca normalną do krzywej przecina oś w punkcie . Odcinek skierowany nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany podnormalną. Długość nazywa się długością stycznej zaś – długością normalnej.

Jeśli krzywa określona jest w pewnym przedziale funkcją ciągłą, która ma w tym przedziale określoną pierwszą pochodną , to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały , gdzie oraz punkt zmienny , gdzie ma postać:

.

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie ma postać:

.

Wówczas odcięte punktów i są odpowiednio równe:

Długość stycznej określa wówczas wzór: zaś długość normalnej:

podstyczna:

podnormalna:

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.

Styczna do okręgu[edytuj | edytuj kod]

W przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu[edytuj | edytuj kod]

(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii[1][2][3])

Niech punkty i będą punktami styczności do okręgu dwóch prostych przecinających się w punkcie . Wówczas .

Odcinki AB i AC są równe.

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa , kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy