Styczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Konstrukcja stycznej do krzywej

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

Niech punkt Q będzie rzutem punktu P na oś x i niech styczna s przecina oś x w punkcie R zaś prosta n będąca normalną do krzywej K przecina oś x w punkcie T. Odcinek skierowany RQ nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany QT - podnormalną. Długość |PR| nazywa się długością stycznej zaś |PT| - długością normalnej.

Jeśli krzywa K określona jest w pewnym przedziale funkcją ciągłą, która posiada w tym przedziale określoną pierwszą pochodną to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały , gdzie oraz punkt zmienny , gdzie ma postać:

.

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie ma postać:

.

Wówczas odcięte punktów Q, R, T są odpowiednio równe:

Długość stycznej określa wówczas wzór: zaś długość normalnej:

podstyczna:

podnormalna:

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni. Wówczas należy najpierw określić kierunek szukanej stycznej i wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą wybrany kierunek.

Szkolna definicja stycznej[edytuj]

Zgodnie z intuicyjną definicją stycznej, której uczy się w szkole, styczna do okręgu jest to prosta posiadająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Nie można tej definicji uogólnić na dowolną krzywą, nawet wprowadzając dodatkowy warunek, że prosta ta musi być równoległa do małego wycinka krzywej w tym punkcie. Wynika to z faktu, iż styczna do krzywej w jednym punkcie może przecinać ją w innych punktach (w szczególnym przypadku styczną do prostej jest ta sama prosta, zatem obie mają wszystkie punkty wspólne).

Twierdzenie o odcinkach stycznych[edytuj]

(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii[1][2][3])

Niech punkty i będą punktami styczności dwóch prostych przecinających się w punkcie do okręgu o. Wówczas .

Odcinki AB i AC są równe.

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa , kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy