Styczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Konstrukcja stycznej do krzywej

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

Niech punkt Q będzie rzutem punktu P na oś x i niech styczna s przecina oś x w punkcie R zaś prosta n będąca normalną do krzywej K przecina oś x w punkcie T. Odcinek skierowany RQ nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany QT - podnormalną. Długość |PR| nazywa się długością stycznej zaś |PT| - długością normalnej.

Jeśli krzywa K określona jest w pewnym przedziale  [a,b] funkcją  y = f(x) ciągłą, która posiada w tym przedziale określoną pierwszą pochodną  f^\prime to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały  P (x_0, y_0) , gdzie  y_0 = f(x_0) oraz punkt zmienny  P ( x_k, y_k ) , gdzie  y_k = f(x_k) ma postać:

y-y_0=\frac{y_k-y_0}{x_k-x_0}(x-x_0)\,\!.

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie  P (x_0, y_0) ma postać:

y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)\,\!.

Wówczas odcięte punktów Q, R, T są odpowiednio równe: x_0,\ x_0-{{y_0}\over{f'(x_0)}},\  x_0+y_0f'(x_0)\,\!

Długość stycznej określa wówczas wzór: |PR|=\left|{y_0\over{f'(x_0)}}\right| \sqrt{1+(f'(x_0))^2} zaś długość normalnej: |PT|=\left|y_0\right| \sqrt{1+(f'(x_0))^2}

podstyczna: |RQ|=\left|{y_0\over{f'(x_0)}}\right|

podnormalna: |QT|=\left|y_0f'(x_0)\right|

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni. Wówczas należy najpierw określić kierunek szukanej stycznej i wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą wybrany kierunek.

Szkolna definicja stycznej[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z intuicyjną definicją stycznej, której uczy się w szkole, styczna do okręgu jest to prosta posiadająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Nie można tej definicji uogólnić na dowolną krzywą, nawet wprowadzając dodatkowy warunek, że prosta ta musi być równoległa do małego wycinka krzywej w tym punkcie. Wynika to z faktu, iż styczna do krzywej w jednym punkcie może przecinać ją w innych punktach (w szczególnym przypadku styczną do prostej jest ta sama prosta, zatem obie mają wszystkie punkty wspólne).

Twierdzenie o odcinkach stycznych[edytuj | edytuj kod]

(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii[1][2][3])

Niech punkty  B i  C będą punktami styczności dwóch prostych przecinających się w punkcie A do okręgu o. Wówczas |AB|=|AC|.

Odcinki AB i AC są równe.

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa \pi, kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od \frac{\pi}{2} o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy