Metoda czynnika sumacyjnego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Metoda czynnika sumacyjnego pozwala na rozwiązywanie równań rekurencyjnych postaci poprzez sprowadzenie ich do postaci , gdzie to ciągi współczynników.

Zakładamy, że spełnione są warunki dla oraz dla

Cel metody[edytuj | edytuj kod]

Celem jest sprowadzenie tej wyjściowej rekurencji do postaci Taka postać mówi nam, że wyraz o numerze powstaje z wyrazu o numerze przez dodanie do niego elementu . Oznacza to zatem, że można zapisać jako sumę

Opis metody[edytuj | edytuj kod]

Aby dojść do oczekiwanej postaci definujemy czynnik sumacyjny, czyli ciąg spełniający równanie

lub inaczej

Przez pomnożenie równania wyjściowego obustronnie przez pozbywamy się zależności od po prawej stronie równania:

Wprowadzamy teraz nową funkcję co pozwala nam zapisać poprzednie równanie jako i dalej w postaci sumy

Uwzględniając definicję otrzymujemy

Zatem równanie na ma postać

Ostatnim krokiem jest wyznaczenie wyrazów ciągu . Z określenia możemy wyznaczyć dla . Musimy przyjąć warunek na zakończenie rekurencji -- możemy to zrobić wybierając . Wówczas otrzymujemy ciąg

i ogólnie

Literatura[edytuj | edytuj kod]