Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Jeśli dla pary uporządkowanej
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
kategorii
K
{\displaystyle {\mathfrak {K}}}
0
B
A
:
A
→
B
,
{\displaystyle 0_{BA}\colon A\to B,}
morfizmów
v
:
B
→
C
{\displaystyle v\colon B\to C}
u
:
D
→
A
{\displaystyle u\colon D\to A}
v
0
B
A
=
0
C
A
,
0
B
A
u
=
0
B
D
,
{\displaystyle v0_{BA}=0_{CA},0_{BA}u=0_{BD},}
to
0
B
A
{\displaystyle 0_{BA}}
morfizmem zerowym [1]
Morfizm zerowy można również zdefiniować za pomocą pojęć morfizmu stałego i morfizmu costałego.
Morfizm
A
→
f
B
{\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B}
morfizmem stałym , jeśli dla każdej pary morfizmów
A
′
→
r
A
{\displaystyle A'{\xrightarrow {r}}A}
A
′
→
s
A
{\displaystyle A'{\xrightarrow {s}}A}
f
∘
r
=
f
∘
s
.
{\displaystyle f\circ r=f\circ s.}
Morfizm
A
→
f
B
{\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B}
morfizmem costałym , jeśli dla każdej pary morfizmów
B
→
u
B
′
{\displaystyle B{\xrightarrow {u}}B'}
B
→
w
B
′
{\displaystyle B{\xrightarrow {w}}B'}
u
∘
f
=
w
∘
f
.
{\displaystyle u\circ f=w\circ f.}
Morfizmem zerowym jest morfizm, który jest jednocześnie morfizmem stałym i morfizmem costałym[2]
Jeżeli dla każdej pary uporządkowanej
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
K
{\displaystyle {\mathfrak {K}}}
0
B
A
:
A
→
B
,
{\displaystyle 0_{BA}\colon A\to B,}
kategorią punktowaną . W danej kategorii istnieje tylko jeden układ morfizmów zerowych
(
0
B
A
)
=
{
0
B
A
:
(
A
,
B
)
∈
K
×
K
}
,
{\displaystyle (0_{BA})=\{0_{BA}:(A,B)\in {\mathfrak {K}}\times {\mathfrak {K}}\},}
(
0
B
A
)
{\displaystyle (0_{BA})}
(
0
B
A
′
)
,
{\displaystyle (0'_{BA}),}
0
B
A
′
=
0
B
A
′
0
A
A
=
0
B
A
.
{\displaystyle 0'_{BA}=0'_{BA}0_{AA}=0_{BA}.}
Jeśli
A
→
f
B
→
g
C
{\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C}
monomorfizmem , to
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
A
{\displaystyle A}
obiektem zerowym .
W kategorii punktowanej ekwalizator morfizmu
A
→
f
B
{\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B}
0
B
A
{\displaystyle 0_{BA}}
f
.
{\displaystyle f.}
↑ Bucur, Deleanu, op. cit., s. 48.
↑ Abstract and Concrete Categories , op. cit., s. 126. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.) . Москва: Мир, 1972. brak strony w książce Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories . 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang. ) . 
